Question

[Anh Quốc]

Cho triangle ABC có BC = 2AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB Gọi M là trung điểm BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. a) Chứng minh triangle ABM = triangle ECM. b) Chứng minh AB || CE và AE = CD c) Gọi F là trung điểm CD, chứng minh BF vuông với AM.

Answer 1

[Đặng Thị Thảo Vân]

a)Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ECM$:
$MA = ME$

$\widehat{AMB} = \widehat{EMC}$ (đối đỉnh)
$MB = MC$ ($M$ là trung điểm $BC$)Do đó $\Delta ABM = \Delta ECM$ (c-g-c).
b)
Từ câu a suy ra $AB = CE$ và $\widehat{BAM} = \widehat{CEM}$ (so le trong), do đó $AB \parallel CE$.
Mà $AD = AB$ suy ra $AD = CE$.
Xét $\Delta ACD$ và $\Delta CAE$:
$AD = CE$
$\widehat{DAC} = \widehat{ECA}$ (so le trong)
$AC$ chungDo đó $\Delta ACD = \Delta CAE$ (c-g-c), suy ra $AE = CD$.
c)
$A$ là trung điểm của $BD$ (vì $AD = AB$ và $D$ thuộc tia đối của $AB$).
$M$ là trung điểm của $BC$.
Suy ra $AM$ là đường trung bình của $\Delta BCD$, do đó $AM \parallel CD$.
Vì $BF$ là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy trong tam giác đặc biệt này nên vuông góc với cạnh song song, suy ra $BF \perp AM$.

Answer 2

[phong nguyen]

a) xét tam giác ABM và tam giác ECM có:

BM=MC

góc AMB= góc EMC

AM=ME

=> △ABM=△ECM

b) từ câu a)=> góc ABM= góc ECM

=> △AB//CE

c) ta có BD=BA+AD=2BA

mà BC=2BA

=> BD=BC

=> △DBC cân tại B

mà BF là đường trung tuyến nên cũng đồng thời là đường cao

=> BF vuông góc DC

CM dễ dàng: △ADC=△CEA(c.g.c)

=> DC//AE

=> BF vuông góc AE hay BF vuông góc AM(đpcm)

Answer 3

[꧁༺⚔️🩸Ɽɨ₦₳Ɽ₭💢亗ＡＮＤＹ亗💢₳₮₳🩸⚔️༻꧂]

tự vẽ hình
a) xét tam giác ABM và tam giác ECM có:
MB=MC (M là trung điểm)
góc ABM=góc EMC (đối đỉnh)
MA=ME (gt)
suy ra tam giác ABM=tam giác ECM (c.g.c)
b) vì tam giác ABM=tam giác ECM (ý a)
suy ra góc BAM=góc CEM (2 góc tương ứng)
vì 2 góc này nằm ở vị trí so le trong
suy ra AB//CE
vì tam giác ABM=tam giác ECM (ý a)
suy ra AB=CE (2 cạnh tương ứng)
mà AD=AB (gt)
suy ra AD=CE
vì D thuộc tia đối của AB nên D,A,B thẳng hàng
suy ra góc DAC bù góc BAC
vì AB//CE(cmt) và AC cắt 2 cạnh đó và góc BAC bù góc ACE
suy ra DAC=ECA
xét tam giác ADC và tam giác CEA có:
AD=CE(cmt)
góc DAC=góc ECA(cmt)
AC chung
do đó tam giác ADC=tam giác CEA (c.g.c)
suy ra CD=AE(2 cạnh tương ứng)
c)D thuộc tia đối của AB mà AB=AD
suy ra BD=AB+AD=2AB
mà BC=2AB(gt)
do đó BC=BD
suy ra tam giác BCD cân tại B
vì tam giác BCD cân tại B (cmt) và F là trung điểm của CD
do đó BF là đường cao của tam giác BCD
suy ra BF vuông góc CD
vì tam giác ADC=tam giác CEA (cmt)
suy ra góc ACD=góc EAC (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
suy ra CD//AE
vì E thuộc tia đối của MA nên MA nên 3 điểm A,M,E thẳng hàng
suy ra CD//AM
ta có BF vuông góc CD (cmt) và CD//AM (cmt)
suy ra BF vuông góc AM (quan hệ vuông góc - song song) [đpcm]
cho mình xin tick nha 😁

Answer 4

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔMAB và ΔMEC có

MA=ME

\(\hat{AMB}=\hat{EMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó; ΔMAB=ΔMEC

b: ΔMAB=ΔMEC

=>\(\hat{MAB}=\hat{MEC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//EC

=>AD//CE

ΔMAB=ΔMEC

=>AB=EC

mà AB=AD
nên AD=EC

Xét ΔEAC và ΔDCA có

EC=DA

\(\hat{ECA}=\hat{DAC}\) (hai góc so le trong, EC//AD)

AC chung

Do đó: ΔEAC=ΔDCA

=>AE=CD

c: Xét ΔBDC có \(\frac{BM}{BC}=\frac{BA}{BD}\left(=\frac12\right)\)

nên MA//CD

TA có: A nằm giữa B và D(AB và AD là hai tia đối nhau)

mà AB=AD

nên A là trung điểm của BD

TA có: BD=2BA

BC=2BM

mà 2BA=BC

nên BD=BC

=>ΔBCD cân tại B

ΔBCD cân tại B

mà BF là đường trung tuyến

nên BF⊥CD

Ta có: BF⊥CD

CD//AM

Do đó: BF⊥AM

Answer 5

[๖ۣۜ 𝑡ℎ𝑤 ℎ𝑤_𝑧𝑑⁀ ²ᵏ˚]

 lượt nhé. Tuy nhiên, ở câu c có vẻ đề bài bị thiếu hoặc nhầm giả thiết, vì với giả thiết hiện tại thì mệnh đề “BF ⟂ AM” không đúng trong mọi trường hợp.

Ta có:

• \(M\) là trung điểm \(B C\) nên \(M B = M C\).
• \(D\) nằm trên tia đối của \(A B\), \(A D = A B\) nên \(A\) là trung điểm \(B D\).
• \(E\) nằm trên tia đối của \(M A\), \(M E = M A\) nên \(M\) là trung điểm \(A E\).

a) Chứng minh \(\triangle A B M = \triangle E C M\)

Xét \(\triangle A B M\) và \(\triangle E C M\), có:

• \(A B = E C\): sẽ suy ra từ việc \(A , E\) đối xứng nhau qua \(M\) và \(B , C\) đối xứng nhau qua \(M\).
• \(A M = E M\) (gt).
• \(B M = C M\) (vì \(M\) là trung điểm \(B C\)).

Do đó:

\(\triangle A B M = \triangle E C M \left(\right. c . c . c \left.\right)\)

b) Chứng minh \(A B \parallel C E\) và \(A E = C D\)

Từ câu a:

\(\hat{B A M} = \hat{C E M} .\)

Mà \(A , M , E\) thẳng hàng nên hai góc trên là hai góc so le trong.

Suy ra:

\(A B \parallel C E .\)

Tiếp theo, vì \(M\) là trung điểm của \(A E\) và \(B C\), xét tứ giác \(A B C E\).

Hai đường chéo \(A E\) và \(B C\) cắt nhau tại \(M\) và cùng bị chia đôi tại \(M\), nên \(A B C E\) là hình bình hành.

Do đó:

\(A B = C E , A E \parallel B C .\)

Lại có:

\(A D = A B = C E .\)

Mặt khác, vì \(A\) là trung điểm của \(B D\) nên:

\(B D = 2 A B .\)

Và \(B C = 2 A B\), suy ra:

\(B D = B C .\)

Do \(A\) là trung điểm \(B D\), \(M\) là trung điểm \(B C\), ta có thể suy ra:

\(C D = 2 A M .\)

Mà:

\(A E = A M + M E = 2 A M .\)

Vậy:

\(\boxed{A E = C D} .\)

c) Lưu ý về đề bài

Với đúng các giả thiết em gửi:

\(B C = 2 A B ,\)

thì chưa đủ để chứng minh \(B F \bot A M\).

Ví dụ đặt \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. 1 , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. 0 , \sqrt{3} \left.\right)\). Khi đó:

\(A B = 1 , B C = 2 ,\)

đúng với giả thiết.

Ta có:

\(M \left(\right. \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \left.\right) , D \left(\right. - 1 , 0 \left.\right) ,\)

và \(F\) là trung điểm \(C D\):

\(F \left(\right. - \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \left.\right) .\)

Khi đó:

\(\overset{⃗}{B F} = \left(\right. - \frac{3}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \left.\right) , \overset{⃗}{A M} = \left(\right. \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \left.\right) .\)

Tích vô hướng:

\(\overset{⃗}{B F} \cdot \overset{⃗}{A M} = - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 0.\)

À, vậy ví dụ này lại cho vuông! Mình kiểm tra lại phép tính tổng quát: \(\overset{⃗}{B F} = \left(\right. C - 3 B \left.\right) / 2\), \(\overset{⃗}{A M} = C / 2\), điều kiện vuông là \(A C^{2} = 3 \overset{⃗}{B C ?}\). Với|^2-2B ví dụ \(C = \left(\right. 0 , \sqrt{3} \left.\right)\), đúng.

Thực ra từ \(B C = 2 A B\):

\(\mid C - B \mid^{2} = 4 \mid B \mid^{2}\)

nên

\(\mid C \mid^{2} - 2 B \cdot C = 3 \mid B \mid^{2} .\)

Điều này vẫn chưa đủ để suy ra tích vô hướng bằng 0. Ví dụ chọn \(C = \left(\right. 2 , 0 \left.\right)\) thì \(B C = 1\), không đúng. Chọn \(C = \left(\right. 3 , 0 \left.\right)\): \(B C = 2 = 2 A B\), nhưng \(A , B , C\) thẳng hàng nên không phải tam giác. Chọn \(C = \left(\right. 2 , \sqrt{3} \left.\right)\): \(B C = 2\)