Câu hỏi của Trần Tất Tuấn

Question

tìm tất cả số tự nhiên n , biết : n +S(n)=2014,trong đó S(n) là tổng các chữ số của n

Lê Song Phương · Accepted Answer

Gọi $k$ là số chữ số của $n$. Khi đó đặt

$n=\overline{a_0a_1a_2...a_{k-1}}=10^{k-1}a_0+10^{k-2}a_1+...+10^1a_{k-2}+10^0a_{k-1}$ và $a_0\ne0$

Có $n+S\left(n\right)=2014$

$\Rightarrow\left(10^{k-1}+1\right)a_0+\left(10^{k-2}+1\right)a_1+...+\left(10^1+1\right)a_{k-2}+\left(10^0+1\right)a_{k-1}=2014$ (1)

Khi đó vì $a_i\ge0$ với mọi $i=1,2,...,k-1$ và $a_0\ge1$ nên từ (1) có:

$10^{k-1}+1\le2014\Leftrightarrow k\le4$    (2)

Mặt khác $a_j\le9$ với mọi $j=0,1,2,...,k-1$ nên

$9\left(10^{k-1}+1+10^{k-2}+1+...+10^0+1\right)\ge2014$

$\Leftrightarrow10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^0+k\ge224$    (3)

Đặt $S=10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^0$

$\Rightarrow10S=10^k+10^{k-1}+...+10^1$

$\Rightarrow10S-S=9S=10^k-1$

$\Rightarrow S=\dfrac{10^k-1}{9}$

Như vậy, từ (3) ta có $\dfrac{10^k-1}{9}+k\ge224$

$\Rightarrow k\ge4$    (4)

Từ (2) và (4) ta có $k=4$, hay $n$ có 4 chữ số

Khi đó gọi $n=\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$

$\Rightarrow n+S\left(n\right)=1001a+101b+11c+2d=2014$

$\Rightarrow1001a< 2014\Rightarrow a\le2$

Xét $a=2$ thì ta có $101b+11c+2d=12$, vô lý.

Với $a=1$, ta có $1\le S\left(n\right)\le36\Rightarrow1978\le n=2014-S\left(n\right)\le2013$

$\Rightarrow1978\le n\le1999$

Do đó $a=1,b=9,c\in\left\{7,8,9\right\}$

$\Rightarrow n+S\left(n\right)=1001+909+11c+2d=2014\Leftrightarrow11c+2d=104$

Vì 112 và $2d$ đều là số chẵn nên $c$ chẵn $\Rightarrow c=8$

$\Rightarrow d=8$

Vậy $n=1988$ là số tự nhiên duy nhất thỏa mãn ycbt.Câu trả lời: Gọi $k$ là số chữ số của $n$. Khi đó đặt