K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

12 tháng 5 2016

\(x+y=2\Rightarrow y=2-x\)

\(A=\sqrt{x^2+\left(2-x\right)^2}+\sqrt{x\left(2-x\right)}=\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{-x^2+2x}\)

\(A^2=x^2-2x+4+2\sqrt{2x^2-4x+4}.\sqrt{-x^2+2x}\)

\(+A\ge2\Leftrightarrow A^2\ge4\Leftrightarrow x^2-2x+4+2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge4\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge x\left(2-x\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(-2x^4+8x^3-12x^2+8x\right)\ge x^2\left(2-x\right)^2\text{ }\left(do\text{ }x\left(2-x\right)\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow x\left(2-x\right)\left(9x^2-18x+16\right)\ge0\)

Bất đẳng thức trên đúng vì :

\(x\ge0;\text{ }2-x=y\ge0;\text{ }9x^2-18x+16=9\left(x-1\right)^2+7>0\)

Vậy \(A\ge2\)

Tương tự, ta có thể chứng minh \(A\le\sqrt{6}\)

12 tháng 5 2016

Cách khác: \(x+y=2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)

Đặt \(t=\sqrt{xy};t\ge0;\text{ }t\le\frac{x+y}{2}=1\)

\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}=\sqrt{4-2t^2}+t\)

\(+\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\Leftrightarrow\sqrt{4-2t^2}\ge2-t\)

\(\Leftrightarrow4-2t^2\ge t^2-4t+4\text{ }\left(do\text{ }2-t>0\right)\)

\(\Leftrightarrow3t^2-4t\le0\Leftrightarrow t\left(3t-4\right)\le0\)

BĐT trên đúng đo \(t\ge0;\text{ }3t-4\le3.1-4=-1<0\)

Vậy \(\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\)

Làm tương tự với vế còn lại.

19 tháng 5 2019

Ta có : \(xy\left(x+y\right)^2\le\frac{1}{64}\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\frac{1}{64}}\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{8}\)

ta cần c/m \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{8}\)

Thật vậy, ta có

Áp dụng BĐT : \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b

\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\frac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+2\sqrt{xy}+y\right)^2}{4}=\frac{\left(\sqrt{x}^2+2\sqrt{xy}+\sqrt{y}^2\right)^2}{4}.\frac{1}{2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}=\frac{1}{8}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{4}\)

16 tháng 8 2021

Ta có:\(\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}=\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+xy+yz+zx}}=\sqrt{\dfrac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

  \(=\sqrt{\dfrac{y}{x+y}\cdot\dfrac{z}{x+z}}\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}}{2}\)

Tương tự ta có:\(\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}\le\dfrac{\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{z}{y+z}}{2}\)

                         \(\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\le\dfrac{\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{x}{x+z}}{2}\)

Cộng vế với vế ta có:

\(\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\)

\(\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{z+y}+\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{x}{x+z}}{2}\)

\(=\dfrac{\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+x}}{2}=\dfrac{1+1+1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2017}}{\sqrt{3}}\)

8 tháng 4

Tại sao x=y=z=$\sqrt{\dfrac{2017}{3}}$ vậy ạ?

NV
10 tháng 5 2021

Đề bài sai, sửa đề: \(2\le\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\le\sqrt{6}\)

Đặt \(P=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}>0\)

\(\Rightarrow P^2=x^2+y^2+xy+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)xy}\ge x^2+y^2+xy+2\sqrt{2xy.xy}\)

\(\Rightarrow P^2\ge x^2+y^2+\left(2\sqrt{2}+1\right)xy\ge x^2+y^2+2xy=4\)

\(\Rightarrow P\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2;0\right);\left(0;2\right)\)

Lại có: \(P^2=x^2+y^2+xy+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)xy}=x^2+y^2+xy+\sqrt{4xy.\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Rightarrow P^2\le x^2+y^2+xy+\dfrac{1}{2}\left(4xy+x^2+y^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2=6\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{3};\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}\right)\)

4 tháng 11 2017

Max : Áp dụng bunyakovsky: 

\(\left(\sqrt{x^2+y^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2xy}\right)^2\le\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(x+y\right)^2=6\)

Min: \(0\le x;y\le2\)..

Chứng minh :\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\ge x+y\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{xy\left(x^2+y^2\right)}-xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{xy\left(4x^2+4y^2-xy\right)}{2\sqrt{xy\left(x^2+y^2\right)}+xy}\ge0\)( đúng) vì x;y không âm 

Dấu = xảy ra: (x;y)=(0;2);(2;0)

2 tháng 2 2019

bạn vector số thực ko âm có thể là số dương hoặc 0 nữa chứ