Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Đường thẳng d đi qua M1( -3 ; -2 ; 6) và có vectơ chỉ phương (2 ; 3 ; 4).
Đường thẳng d' đi qua M2( 5 ; -1 ; 20) và có vectơ chỉ phương (1 ; -4 ; 1).
Ta có = (19 ; 2 ; -11) ;
= (8 ; 1 ; 14)
và = (19.8 + 2 - 11.4) = 0
nên d và d' cắt nhau.
Nhận xét : Ta nhận thấy ,
không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:
Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có 2t = 6 => t = -3, thay vào (1) có t' = -2, từ đó d và d' có điểm chung duy nhất M(3 ; 7 ; 18). Do đó d và d' cắt nhau.
b) Ta có : (1 ; 1 ; -1) là vectơ chỉ phương của d và
(2 ; 2 ; -2) là vectơ chỉ phương của d' .
Ta thấy và
cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm M(1 ; 2 ; 3) ∈ d ta thấy M d' nên d và d' song song.
Để tính cos(Δ1;Δ2), ta cần tìm vector chỉ phương của hai đường thẳng Δ1 và Δ2.
Vector chỉ phương của đường thẳng d là (1, t, 2) và vector chỉ phương của đường thẳng d' là (-1, 1, -2).
Để tìm vector chỉ phương của mặt phẳng (P), ta lấy vector pháp tuyến của mặt phẳng. Ta có vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1, 1, -1).
Để hai đường thẳng Δ1 và Δ2 song song với mặt phẳng (P), ta có điều kiện là vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 cũng phải song song với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vì vậy, ta cần tìm vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 sao cho chúng song song với vector (1, 1, -1).
Ta có thể tìm vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 bằng cách lấy tích vector của vector chỉ phương của d hoặc d' với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Tính tích vector của (1, t, 2) và (1, 1, -1): (1, t, 2) x (1, 1, -1) = (t-3, 3t+1, -t-1)
Tính tích vector của (-1, 1, -2) và (1, 1, -1): (-1, 1, -2) x (1, 1, -1) = (-1, -3, -2)
Hai vector trên là vector chỉ phương của Δ1 và Δ2. Để tính cos(Δ1;Δ2), ta sử dụng công thức:
cos(Δ1;Δ2) = (Δ1.Δ2) / (|Δ1|.|Δ2|)
Trong đó, Δ1.Δ2 là tích vô hướng của hai vector chỉ phương, |Δ1| và |Δ2| là độ dài của hai vector chỉ phương.
Tính tích vô hướng Δ1.Δ2: (t-3)(-1) + (3t+1)(-3) + (-t-1)(-2) = -t-3
Tính độ dài của Δ1: |Δ1| = √[(t-3)² + (3t+1)² + (-t-1)²] = √[11t² + 2t + 11]
Tính độ dài của Δ2: |Δ2| = √[(-1)² + (-3)² + (-2)²] = √[14]
Vậy, cos(Δ1;Δ2) = (-t-3) / (√[11t² + 2t + 11] * √[14])
Để tính giá trị của cos(Δ1;Δ2), ta cần biết giá trị của t. Tuy nhiên, trong câu hỏi không cung cấp giá trị cụ thể của t nên không thể tính được giá trị chính xác của cos(Δ1;Δ2).
Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của ( α ) ta được: (2 – t) +(2 + t) + 5 = 0 ⇔ 0t = -9
Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với ( α )
14.
Pt mp (P) qua A và vuông góc d:
\(1\left(x-2\right)-2\left(y-3\right)+2\left(z+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-2y+2z+6=0\)
Pt d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=4+t\\y=1-2t\\z=5+2t\end{matrix}\right.\)
Gọi M là giao điểm d và (P) thì tọa độ M thỏa mãn:
\(4+t-2\left(1-2t\right)+2\left(5+2t\right)+6=0\) \(\Rightarrow t=-2\) \(\Rightarrow M\left(2;5;1\right)\)
A' đối xứng A qua d \(\Rightarrow\)M là trung điểm AA'
Theo công thức trung điểm \(\Rightarrow A'\left(2;7;3\right)\)
15.
Pt d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+3t\\y=-2+2t\\z=-t\end{matrix}\right.\)
PT (P) qua A và vuông góc d:
\(3\left(x-4\right)+2\left(y+3\right)-1\left(z-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3x+2y-z-4=0\)
H là giao điểm d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:
\(3\left(-2+3t\right)+2\left(-2+2t\right)+t-4=0\Rightarrow t=1\)
\(\Rightarrow H\left(1;0;-1\right)\)
11.
Thay tọa độ 4 điểm vào pt d chỉ có đáp án A thỏa mãn
12.
Phương trình (P) qua A và vuông góc \(\Delta\):
\(1\left(x-0\right)+1\left(y-1\right)-1\left(z+1\right)=0\Leftrightarrow x+y-z-2=0\)
Gọi M là giao điểm d và (P) thì tọa độ M thỏa mãn:
\(1+t+2+t-\left(13-t\right)-2=0\Rightarrow t=4\) \(\Rightarrow M\left(5;6;9\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(5;5;10\right)=5\left(1;1;2\right)\)
Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=1+t\\z=-1+2t\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+t\\y=6+t\\z=9+2t\end{matrix}\right.\)
13.
Pt tham số đường d qua A vuông góc (P): \(\left\{{}\begin{matrix}x=-t\\y=1-2t\\z=-2+2t\end{matrix}\right.\)
H là giao điểm (P) và d nên tọa độ thỏa mãn:
\(t-2\left(1-2t\right)+2\left(-2+2t\right)-3=0\Rightarrow t=1\)
\(\Rightarrow H\left(-1;-1;0\right)\)
