Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Hàm có cực đại, cực tiểu khi mà $y'=-3x^2+2(m-1)x=x[2(m-1)-3x]$ có ít nhất hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 2(m-1)-3x=0$ có một nghiệm khác $0$ hay $m\neq 1$
b) Đồ thị hàm số $(\star)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi mà phương trình $y=-x^3+(m-1)x^2-m+2=0$ có $3$ nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow (1-x)[x^2+x(2-m)+(2-m)]=0$ có ba nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow x^2+x(2-m)+(2-m)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$
Do đó ta cần có $\left\{\begin{matrix}1+2-m+2-m=5-2m\neq 0\\ \Delta =(2-m)^2-4(2-m)>0\end{matrix}\right.$
Vậy để thỏa mãn đề bài thì $m\neq \frac{5}{2}$ và $m>2$ hoặc $m<-2$
c) Gọi điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua là $(x_0,y_0)$
$y_0=-x_0^3+(m-1)x_0^2-m+2$ $\forall m\in\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m(x_0^2-1)-(x_0^3+x_0^2+y_0-2)=0$ $\forall m\in\mathbb{R}$
$\Rightarrow\left{\begin{matrix}x_0^2=1\\ x_0^3+x_0^2+y_02=0\end{matrix}\right.\begin{bmatrix}(x_0,y_0)=(1;0)\\ (x_0,y_0)=(-1;2)\end{bmatrix}$
Viết lại đoạn cuối:
$\Rightarrow\left{\begin{matrix}x_0^2=1\\x_0^3+x_0^2+y_0-2=0\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \begin{bmatrix}(x_0,y_0)=(1;0)\\ (x_0,y_0)=(-1;2)\end{bmatrix}$
Công thức tính nhanh phương trình đường thẳng qua 2 cực trị của hàm bậc 3 dạng: \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) là: \(y=\left(\dfrac{2c}{3}-\dfrac{2b^2}{9a}\right)x+\left(d-\dfrac{bc}{9a}\right)\)
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ (2 cực trị thẳng hàng O) khi tung độ gốc bằng 0
\(\Rightarrow d-\dfrac{bc}{9a}=0\)
Áp dụng cho bài này:
\(3-\dfrac{\left(-2\right).m}{9.\dfrac{1}{3}}=0\Rightarrow-2m=9\Rightarrow m=-\dfrac{9}{2}\in\left(-5;-3\right)\)
Phương trình hoành độ giao điểm
x3+2mx2+3(m-1)x+2 =-x+2 hay x(x2+2mx+3(m-1))=0
suy ra x=0 hoặc x2+2mx+3(m-1)=0 (1)
Đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
⇔ m 2 - 3 m + 3 > 0 m - 1 ≠ 0 ⇔ ∀ m m ≠ 1 ⇔ m ≠ 1
Khi đó ta có: C( x1 ; -x1+2) ; B(x2 ; -x2+2) trong đó x1 ; x2 là nghiệm của (1) ; nên theo Viet thì x 1 + x 2 = - 2 m x 1 x 2 = 3 m - 3
Vậy
C B → = ( x 2 - x 1 ; - x 2 + x 1 ) ⇒ C B = 2 ( x 2 - x 1 ) 2 = 8 ( m 2 - 3 m + 3 )
d ( M ; ( d ) ) = - 3 - 1 + 2 2 = 2
Diện tích tam giác MBC bằng khi và chỉ khi
Chọn B.
a) Xét hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\)
Ta có \(y'=4ax^3+2bx=2x\left(2ax^2+b\right)\)
\(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(2ax^2+b=0\left(1\right)\)
Đồ thị hàm số có 3 cực trị phân biệt khi và chỉ khi \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \(\Leftrightarrow ab< 0\) (*)
Với điều kiện (*) thì đồ thị có 3 điểm cực trị là :
\(A\left(0;c\right);B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a},}c-\frac{b^2}{4a}\right);C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a},}c-\frac{b^2}{4a}\right)\)
Ta có \(AB=AC=\sqrt{\frac{b^2-8ab}{16a^2}};BC=\sqrt{-\frac{2b}{a}}\) nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi vuông tại A.
Khi đó \(BC^2=2AB^2\Leftrightarrow b^3+8a=0\)
Do đó yêu cầu bài toán\(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\b^3+8a=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(m+1\right)< 0\\-8\left(m+1\right)^3+8=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow m=0\)
b) Ta có yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\OA=BC\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(m+1\right)< 0\\m^2-4\left(m+1\right)=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=2\pm2\sqrt{2}\)
Chọn C
[Phương pháp tự luận]
Ta có : y = 6 x 2 - 6 ( m + 1 ) x + 6 m
Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là m ≠ 1
Hệ số góc đt AB là k = - ( m - 1 ) 2
Đt AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2
+ Ta có đạo hàm y’ = 6x2- 6( m+ 1) x+ 6m
Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : m≠ 1
Tọa độ 2 điểm cực trị là A( 1 ; 3m-1) và B ( m ; -m3+ 3m2)
+ Hệ số góc đường thẳng AB là :k= - ( m-1) 2
+ Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y= x+ 2 khi và chỉ khi k= -1
Hay – ( m-1) 2= -1( vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1) 
Chọn C.
Chọn A
Phương pháp tự luận]
y ' = 6 x 2 + 6 ( m - 3 ) x
Hàm số có 2 cực trị ⇔ m ≠ 3
Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A(0;11-3m)
Phương trình đt AB: ( 3 - m ) 2 x + y - 11 + 3 m = 0
Ta có đạo hàm y’ = 6x2+ 6( m-3) x
Hàm số có 2 cực trị khi 3-m≠0 hay m≠3
Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A( 0; 11-3m) và B( 3-m; m3-9m2+ 24m -16) ; A B → = ( 3 - m , ( 3 - m ) 3 ) .
Phương trình đt AB: ( 3-m) 2x+ y-11+3m=0
Để 3 điểm A; B; C hẳng hàng khi và chỉ khi C thuộc đường thẳng AB.
Hay : -1-11=3m= 0 hay m= 4.
Chọn D.
1/ \(y=x^3+3x^2+mx+m-2\)
\(y'=3x^2+6x+m\)
Chia đa thức \(y\) cho \(y'\) được phần dư là \(\left(\dfrac{2m}{3}-2\right)x+\dfrac{2m}{3}-2\)
\(\Rightarrow\)Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua 2 cực trị có dạng:
\(y=\left(\dfrac{2m}{3}-2\right)x+\dfrac{2m}{3}-2\)
Gọi A là giao điểm của \(d\) với \(Ox\Rightarrow A\left(-1;0\right)\)
Đồ thị hàm số có 2 cực trị B, C nằm về 2 phía trục hoành khi và chỉ khi A nằm giữa B và C
\(\Rightarrow x_B< -1< x_C\) với \(x_B;x_C\) là nghiệm của pt \(f\left(x\right)=3x^2+6x+m=0\)
\(\Rightarrow3.f\left(-1\right)< 0\Leftrightarrow3\left(3-6+m\right)< 0\Rightarrow m< 3\)
Vậy với \(m< 3\) thì đồ thị hs có 2 cực trị nằm về 2 phía trục hoành
2/
\(y=x^3+3mx^2+m+1\Rightarrow y'=3x^2+6mx\)
Để hàm số có 2 cực trị \(\Rightarrow m\ne0\)
Chia đa thức \(y\) cho \(y'\) được phân dư \(-2m^2x+m+1\)
\(\Rightarrow\) phương trình đường thẳng \(d\) qua 2 cực trị có dạng:
\(y=-2m^2x+m+1\)
Để \(d\) song song đường thẳng \(y=-x+2017\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2m^2=-1\\m+1\ne2017\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Chọn D
y ’ = 3 x 2 - 6 m x = 3 x ( x - 2 m )
Hàm số có hai điểm cực trị => y’=0 có hai nghiệm phân biệt <=> m ≠ 0 (*)
Tọa độ hai điểm cực trị là B(0;m) và C ( 2 m ; - 4 m 3 + m )
A B → = ( 1 ; m – 3 ) ; A C → = ( 2 m + 1 ; - 4 m 3 + m - 3 )
A, B, C thẳng hàng