Question

[Nguyễn Thu Ngà]

\(u_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\left(\dfrac{2}{1}+\dfrac{2^2}{2}+\dfrac{2^3}{3}+...+\dfrac{2^n}{n}\right)\).

Chứng minh \(\left(u_n\right)\) có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

\(u_{n+1}=\frac{n+2}{2^{n+2}}\left(\frac{2}{1}+...+\frac{2^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+2}{2^{n+1}}\left(\frac{2^{n+1}}{n+1}u_n+\frac{2^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+2}{2n+2}(u_n+1)\)

Ta chứng minh $u_n\geq 1(*)$ với mọi $n=1,2,...$

Thật vậy: 

$u_1=1; u_2=\frac{3}{2}>1$. Giả sử $(*)$ đúng đến $n=k$

$u_{k+1}=\frac{k+2}{2k+2}(u_k+1)>\frac{2(k+2)}{2k+2}>1$

Do đó $u_n\geq 1$ với mọi $n=1,2,...$

Tiếp theo ta chứng minh $u_n< 1+\frac{4}{n}(**)$ với mọi $n=1,2,...$

Thật vậy:

$u_1=1< 1+\frac{4}{1}$

$u_2=\frac{3}{2}< 1+\frac{4}{2};....;u_4=\frac{5}{3}<1+\frac{4}{4}$

....

Giả sử $(**)$ đúng đến $n=k\geq 5$. Khi đó:

\(u_{k+1}=\frac{k+2}{2k+2}(u_k+1)<\frac{k+2}{2k+2}(2+\frac{4}{k})=\frac{(k+2)^2}{k(k+1)}\)

\(\frac{(k+2)^2}{k(k+1)}-(1+\frac{4}{k+1})=\frac{(k+2)^2-k(k+5)}{k(k+1)}=\frac{4-k}{k(k+1)}<0\) với mọi $k\geq 5$

$\Rightarrow u_{k+1}< 1+\frac{4}{k+1}$. Phép quy nạp hoàn tất.

Do đó $(**)$ đúng

Từ $(*); (**)\Rightarrow 1\leq u_n\leq 1+\frac{4}{n}$ với mọi $n=1,2,...$

Mà $\lim (1+\frac{4}{n})=1$ khi $n\to +\infty$ nên $\lim u_n=1$