K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

a) Vì AB là tiếp tuyến (O)

=> AB⊥OB

=> ABOˆABO^=900=900

Vì AC là tiếp tuyến (O)

=> AC⊥OC

=>ACOˆACO^ =900=900

Ta có: ABOˆ+ACOˆABO^+ACO^ =900+900=1800=900+900=1800

=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Vì tiếp tuyến AB cắt tiếp tuyến AC tại A

⇒{AB=ACBO=CO⇒{AB=ACBO=CO

⇒⇒ AO là đường trung trực ứng BC

⇒⇒ AO⊥BC ( mà E∈BC)

⇒⇒ BE⊥AO (đpcm)

Xét ΔABO có: ABOˆABO^ =900=900 (cmtrn)

BE⊥AO (cmtrn)

⇒⇒ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

⇒⇒ AO⋅OE=OB2AO⋅OE=OB2 (mà OB=R)

⇒OA⋅OE=R2⇒OA⋅OE=R2 (đpcm)

c) Vì tiếp tuyến BP cắt tiếp tuyến PK tại P

⇒PB=PK⇒PB=PK

Vì tiếp tuyến KQ cắt tiếp tuyến QC tại Q

⇒KQ=QC⇒KQ=QC

Ta có: PAPQ=AP+PQ+AQPAPQ=AP+PQ+AQ =AP+PK+KQ+AQ=AP+PK+KQ+AQ

⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)

⇔PAPQ=AB+AC⇔PAPQ=AB+AC

Vì AB+ACAB+AC không thay đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC

⇒⇒ Chu vi tam giác AQP không thay đổi khi K thay đổi trên cung nhỏ BC (đpcm).

d) Tự CM: ΔMOP∼ΔNQOΔMOP∼ΔNQO

⇒MPNO=MONQ⇒MPNO=MONQ ⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2

⇔MP⋅NQ=MN24⇔MP⋅NQ=MN24

⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)

⇔MN=2⋅MN⋅NQ−−−−−−−−√⇔MN=2⋅MN⋅NQ

Áp dụng bđt Côshi ta có:

2⋅MP⋅NQ−−−−−−−−√≤MP+NQ2⋅MP⋅NQ≤MP+NQ

⇔MN≤MP+NQ⇔MN≤MP+NQ (đpcm).

12 tháng 4 2021

_undefined

a: Sửa đề: MK\(\perp\)AB

Xét tứ giác BIMK có \(\widehat{BIM}+\widehat{BKM}=90^0+90^0=180^0\)

nên BIMK là tứ giác nội tiếp

=>B,I,M,K cùng thuộc một đường tròn

b: Xét tứ giác IMHC có \(\widehat{MIC}+\widehat{MHC}=90^0+90^0=180^0\)

nên IMHC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MHI}=\widehat{MCI}\)(1)

Ta có: BIMK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MIK}=\widehat{MBK}\left(2\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MCB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB

\(\widehat{MBK}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BK và dây cung BM

Do đó: \(\widehat{MCB}=\widehat{MBK}=\widehat{MCI}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{MIK}=\widehat{MHI}\)

Ta có: BIMK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MKI}=\widehat{MBI}=\widehat{MBC}\left(4\right)\)

Ta có: IMHC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MIH}=\widehat{MCH}\left(5\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

\(\widehat{MCH}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CH và dây cung CM

Do đó: \(\widehat{MBC}=\widehat{MCH}\left(6\right)\)

Từ (4),(5),(6) suy ra \(\widehat{MIH}=\widehat{MKI}\)

Xét ΔMIH và ΔMKI có

\(\widehat{MIH}=\widehat{MKI}\)

\(\widehat{MHI}=\widehat{MIK}\)

Do đó: ΔMIH~ΔMKI

=>\(\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{MH}{MI}\)

=>\(MI^2=MH\cdot MK\)

25 tháng 3 2016

đợi xíu,,tui đang lm bài dưới

25 tháng 3 2016

c) cm là trung điểm rồi => vg góc

 giups minh cau 1d, 2c , cam on nhieu1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt hai cạnh Ab , AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của CE và BF, D là giao điểm của AD và BC.a) Chứng minh AEHF nội tiếpb) Chứng minh EC là tia phân giác của góc DEFc) Đường thẳng  EF cắt BC tại M, Chứng minh MB.MC=ME.MF=MO.MDd) AD cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh MI là tiếp tuyến của...
Đọc tiếp

 giups minh cau 1d, 2c , cam on nhieu

1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt hai cạnh Ab , AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của CE và BF, D là giao điểm của AD và BC.

a) Chứng minh AEHF nội tiếp

b) Chứng minh EC là tia phân giác của góc DEF

c) Đường thẳng  EF cắt BC tại M, Chứng minh MB.MC=ME.MF=MO.MD

d) AD cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh MI là tiếp tuyến của (O)

 e) Đường thẳng qua D  song song với MF, cắt AB và AC lần lượt tại K và L. Chứng minh : M, K, L, O cùng thuộc một đường tròn.

2. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến (O) (B và C là các tiếp điểm) và một cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E), gọi I là trung điểm của DE. 
a) Chứng minh 5 điểm A;B;O;I;C cùng nằm trên một đường tròn suy ra IA là phân giác của góc BIC 
b) BC cắt AE tại K. Chứng minh KA.KI=KD.KE 
c) Qua C kẻ đường thẳng song với AB, đường này cắt các đướng thẳng BE, BD lần lượt tại P và Q. Chứng minh C là trung điểm của PQ. 
d) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại S và H. Đường thẳng HK cắt (O) tại điểm thứ hai là T. Chứng minh 3 điểm A, T, S thẳng hàng 

0
12 tháng 6 2018

A B C O M D E H K I P

a) Xét tứ giác ABOC: ^ABO=^ACO=900 (Do AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O))

=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn dường kính AO (1)

Ta có: DE là dây cung của (O), I là trung điểm DE => OI vuông góc DE => ^OIA=900

Xét tứ giác ABOI: ^ABO=^OIA=900 => Tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn đường kính AO (2)

(1) + (2) => Ngũ giác ABOIC nội tiếp đường tròn

Hay 4 điểm B;O;I;C cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm).

b) Gọi P là chân đường vuông góc từ D kẻ đến OB

Ta có: Tứ giác BOIC nội tiếp đường tròn => ^ICB=^IOP (Góc ngoài tại đỉnh đối) (3)

Dễ thấy tứ giác DIPO nội tiếp đường tròn đường kính OD

=> ^IOP=^IDP (=^IDK) (4)

(3) + (4) => ^ICB=^IDK (đpcm).

c) ^ICB=^IDK (cmt) => ^ICH=^IDH => Tứ giác DHIC nội tiếp đường tròn

=> ^DIH=^DCH hay ^DIH=^DCB.

Lại có: ^DCB=^DEB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD) => ^DIH=^DEB

Mà 2 góc trên đồng vị => IH // EB hay IH // EK

Xét tam giác KDE: I là trung điểm DE (Dễ c/m); IH // EK; H thuộc DK

=> H là trung điểm DK (đpcm).