Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng  d :   x - 1 1 = y + 2 - 1 = z - 2   và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)

A. E(-3;0;4) 

B. M(3;0;2) 

C. N(-1;-2;-1) 

D. F(1;2;1)

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Chọn C

Cách 1:

Đường thẳng d qua điểm M(1;-2;0), có véc tơ chỉ phương  a → = ( 1 ; - 1 ; - 2 )  và trục Oy có véc tơ chỉ phương  j → = ( 0 ; 1 ; 0 ) .

là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Gọi  φ là góc giữa mặt phẳng (P) và trục  Oy  0 ≤ φ ≤ π 2

Ta có 

Vì hàm số sin φ tăng liên tục trên  0 ; π 2  nên  φ đạt giá trị lớn nhất khi sin φ  lớn nhất

Lúc đó

Chọn B= 5; C=-2, A = 1 => n → = ( 1 ; 5 ; - 2 )

Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, có véc tơ pháp tuyến   n → = ( 1 ; 5 ; - 2 )  là:

Thế tọa độ N(-1;-2;-1) vào phương trình mặt phẳng (P): -1+5(-2)-2(-1)+9=0  (luôn đúng).

Vậy điểm N(-1;-2;-1)  thuộc mặt phẳng (P).

Cách 2:

Xét bài toán tổng quát: Cho hai đường thẳng  ∆ 1 , ∆ 2 phân biệt và không song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng  ∆ 1 và tạo với  ∆ 2   một góc lớn nhất.

Phương pháp giải:

+) Vẽ một đường thẳng  ∆ 3  bất kỳ song song với  ∆ 2  và cắt  ∆ 1 tại M. Gọi B là điểm cố định trên  ∆ 3 và H là hình chiếu vuông góc của B lên mp (P), kẻ BA ⊥ ∆ 1

và (P) chứa  ∆ 1   và vuông góc với mặt phẳng ( ∆ 1 , ∆ 2 )

Vậy (P) có VTPT là

Áp dụng:

Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;-2;0), có véc tơ pháp tuyến là 

Vậy điểm N(-1;-2;-1) thuộc mặt phẳng (P).