Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.
Câu 6:
Hoành độ giao điểm: \(\sqrt{1-x^2}=0\Leftrightarrow x=\pm1\)
\(\Rightarrow V=\pi\int\limits^1_{-1}\left(1-x^2\right)dx=\frac{4}{3}\pi\)
// Hoặc là tư duy theo 1 cách khác, biến đổi pt ban đầu ta có:
\(y=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow y^2=1-x^2\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)
Đây là pt đường tròn tâm O bán kính \(R=1\Rightarrow\) khi quay quanh Ox ta sẽ được một mặt cầu bán kính \(R=1\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\)
Câu 7: Về bản chất, đây là 1 con tích phân sai, không thể tính được, do trên miền \(\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right]\) hàm dưới dấu tích phân không xác định tại \(x=\frac{\pi}{3}\) và \(x=\frac{2\pi}{3}\), nhưng nhắm mắt làm ngơ với lỗi ra đề sai đó và ta cứ mặc kệ nó, không quan tâm cứ máy móc áp dụng thì tính như sau:
Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân 1 chút trước:
\(\frac{sin^2x}{sin3x}=\frac{sin^2x}{3sinx-4sin^3x}=\frac{sinx}{3-4sin^2x}=\frac{sinx}{3-4\left(1-cos^2x\right)}=\frac{sinx}{4cos^2x-1}\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{sinx.dx}{4cos^2x-1}\Rightarrow\) đặt \(cosx=t\Rightarrow sinx.dx=-dt\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^0_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{-dt}{4t^2-1}=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0\frac{dt}{\left(2t-1\right)\left(2t+1\right)}=\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0\left(\frac{1}{2t-1}-\frac{1}{2t+1}\right)dt\)
\(I=\frac{1}{4}ln\left|\frac{2t-1}{2t+1}\right|^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0=\frac{1}{4}ln\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\right)=\frac{1}{4}ln\left(2-\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+2b+3c=5\)
Câu 8:
\(f\left(x\right)=\int\frac{1}{2x-1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(2x-1\right)}{2x-1}=\frac{1}{2}ln\left|2x-1\right|+C\)
\(f\left(1\right)=1\Leftrightarrow\frac{1}{2}ln1+C=1\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}ln\left|2x-1\right|+1\Rightarrow f\left(5\right)=\frac{1}{2}ln9+1=ln3+1\)
Câu 4:
\(I=\int\limits^1_{-1}f\left(x\right)dx=\int\limits^0_{-1}f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm chẵn \(\Rightarrow f\left(x\right)=f\left(-x\right)\) \(\forall x\)
Đặt \(x=-t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=-1\Rightarrow t=1\\x=0\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\int\limits^0_{-1}f\left(x\right)dx=\int\limits^0_1f\left(t\right).\left(-dt\right)=\int\limits^1_0f\left(t\right)dt=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=2\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=2\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=1\)
Câu 5: Theo tính chất tích phân ta có:
\(\int\limits^{10}_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx+\int\limits^6_2f\left(x\right)dx+\int\limits^{10}_6f\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0f\left(x\right)dx+\int\limits^{10}_6f\left(x\right)dx=\int\limits^{10}_0f\left(x\right)dx-\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=7-3=4\)
\(x\left(x+1\right)f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}.f'\left(x\right)+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)=\frac{x^2+x}{\left(x+1\right)^2}=\frac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{x+1}.f\left(x\right)\right)'=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}f\left(x\right)=\int\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=x-ln\left|x+1\right|+C\)
Thay \(x=1\) vào ta được
\(\frac{1}{1+1}f\left(1\right)=1-ln2+C\Rightarrow C=\frac{f\left(1\right)}{2}+ln2-1=-1\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}f\left(x\right)=x-ln\left|x+1\right|-1\)
Thay \(x=2\) vào ta được:
\(\frac{2}{3}f\left(2\right)=2-ln3-1\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{3}{2}\left(1-ln3\right)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}ln3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{2}\)
Phương pháp để dẫn tới cách giải trên như sau:
Nhìn vế trái, ta thấy nó có dạng gần giống với biểu thức đạo hàm của một tích, vậy ta cố gắng đưa vế trái thành đạo hàm của một tích.
Giả sử sau khi biến đổi, ta được vế trái có dạng: \(VT=\left(u.f\right)'\) ta cần tìm hàm \(u\left(x\right)\) này
\(\Rightarrow VT=u.f'+u'.f\)
Chia cho \(u\) ta được: \(\frac{VT}{u}=f'+\frac{u'}{u}.f\)
Chỉ cần quan tâm tới dạng \(f'+\frac{u'}{u}.f\) (1)
Nói chung là ta cần triệt tiêu toàn bộ hệ số đằng trước \(f'\left(x\right)\)
Ta biến đổi biểu thức ban đầu về dạng (1) bằng cách chia biểu thức điều kiện cho \(x\left(x+1\right)\)
\(f'\left(x\right)+\frac{1}{x\left(x+1\right)}f\left(x\right)=\frac{x^2+x}{x\left(x+1\right)}\) (2)
Chỉ quan tâm tới vế trái của (2), đồng nhất nó với (1) ta thấy:
\(\frac{u'}{u}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx\Leftrightarrow ln\left(u\right)=ln\left(\frac{x}{x+1}\right)\Rightarrow u=\frac{x}{x+1}\)
Vậy ta đã biết hàm \(u\left(x\right)\) cần tìm là \(u\left(x\right)=\frac{x}{x+1}\)
Vì trong kết quả có xuất hiện ln, nên ta nghĩ đến ý tưởng dùng công thức
Đáp án: D