Tính các giới hạn sau: lim x → 1

NH

Nhi Hoàng

5 tháng 11 2023

Tìm các giới hạn sau:

1/ $\lim\limits_{x->-1}$ $\dfrac{x^{2019}+1}{x^2+x}$

2/ $\lim\limits_{x->1}$ $\dfrac{x+x^2+...+x^n-n}{x-1}$

#Toán lớp 11

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

5 tháng 11 2023

Lời giải:
1.

$\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{2019}+1}{x^2+x}=\lim\limits_{x\to -1}\frac{(x+1)(x^{2018}-x^{2017}+x^{2016}-....-x+1)}{x(x+1)}=\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{2018}-x^{2017}+x^{2016}-....-x+1}{x}$

$=\frac{(-1)^{2018}-(-1)^{2017}+(-1)^{2016}+....-(-1)+1}{-1}$

$=\frac{\underbrace{1+1+....+1+1}_{2019}}{-1}=\frac{2019}{-1}=-2019$

2.

$\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)+(x^2-1)+(x^3-1)+....+(x^n-1)}{x-1}\\ =\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)+(x-1)(x+1)+(x-1)(x^2+x+1)+....+(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)}{x-1}$

$\lim\limits_{x\to 1}[1+(x+1)+(x^2+x+1)+....+(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)]$

$=1+2+3+....+n=n(n+1):2$

Đúng(1)

KQ

Khiết Quỳnh

7 tháng 3 2021

tính các giới hạn sau :a/ $lim\dfrac{3x^2 3}{x 1}\left(x\rightarrow1\right)$b/ $lim\dfrac{2^n 2.4^n}{4.4^n-3.2^n}$c/ $lim\dfrac{\left(2n^2 1\right)\left(2n^5 n\right)}{n^7 2}$d/ $lim\dfrac{2x 1}{\left(x-2\right)^2}\left(x\rightarrow2\right)$e...

#Toán lớp 11

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

8 tháng 3 2021

Đề bị lỗi công thức rồi bạn. Bạn cần viết lại để được hỗ trợ tốt hơn.

Đúng(0)

B

B.Trâm

5 tháng 2 2021

Tính các giới hạn sau:$I_1=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt[3]{x}\right)....\left(1-\sqrt[n]{x}\right)}{\left(1-x\right)^{n-1}}$

$I_2=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n}{x}$

#Toán lớp 11

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 2 2021

Chúng ta tính giới hạn sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1-\sqrt[n]{x}}{1-x}$

Cách đơn giản nhất là sử dụng L'Hopital:

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1-x^{\dfrac{1}{n}}}{1-x}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{-\dfrac{1}{n}x^{\dfrac{1}{n}-1}}{-1}=\dfrac{1}{n}$

Phức tạp hơn thì tách mẫu theo hằng đẳng thức

$=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1-\sqrt[x]{n}}{\left(1-\sqrt[n]{x}\right)\left(1+\sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{x^2}+...+\sqrt[n]{x^{n-1}}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{1+\sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{x^2}+...+\sqrt[n]{x^{n-1}}}=\dfrac{1}{n}$

Tóm lại ta có:

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1-\sqrt[n]{x}}{1-x}=\dfrac{1}{n}$

Do đó:

$I_1=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\dfrac{1-\sqrt[2]{x}}{1-x}\right)\left(\dfrac{1-\sqrt[3]{x}}{1-x}\right)...\left(\dfrac{1-\sqrt[n]{x}}{1-x}\right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}...\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n!}$

Câu 2 cũng vậy: L'Hopital hoặc tách hằng đẳng thức trâu bò (thôi L'Hopital đi cho đỡ sợ)

$I_2=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n}{x}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{n\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^{n-1}\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+1\right)-n\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^{n-1}\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}-1\right)}{1}$

$=\dfrac{n.1-n\left(-1\right)}{1}=2n$

Đúng(1)

B

B.Trâm

6 tháng 2 2021

Tính các giới hạn sau:$M=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{1+4x}-\sqrt[3]{1+6x}}{1-cos3x}$

$N=\lim\limits_{X\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[m]{1+ax}-\sqrt[n]{1+bx}}{\sqrt{1+x}-1}$

$V=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+mx\right)^n-\left(1+nx\right)^m}{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}$

#Toán lớp 11

1

HT

Hoàng Tử Hà

6 tháng 2 2021

Tui nghĩ cái này L'Hospital chứ giải thông thường là ko ổn :)

$M=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+4x\right)^{\dfrac{1}{2}}-\left(1+6x\right)^{\dfrac{1}{3}}}{1-\cos3x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(1+4x\right)^{-\dfrac{1}{2}}.4-\dfrac{1}{3}\left(1+6x\right)^{-\dfrac{2}{3}}.6}{3.\sin3x}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-\dfrac{1}{4}.4\left(1+4x\right)^{-\dfrac{3}{2}}.4+\dfrac{2}{9}.6.6\left(1+6x\right)^{-\dfrac{5}{3}}}{3.3.\cos3x}$

Giờ thay x vô là được

$N=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+ax\right)^{\dfrac{1}{m}}-\left(1+bx\right)^{\dfrac{1}{n}}}{\left(1+x\right)^{\dfrac{1}{2}}-1}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{1}{m}.\left(1+ax\right)^{\dfrac{1}{m}-1}.a-\dfrac{1}{n}\left(1+bx\right)^{\dfrac{1}{n}-1}.b}{\dfrac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{\dfrac{a}{m}-\dfrac{b}{n}}{\dfrac{1}{2}}$

$V=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+mx\right)^n-\left(1+nx\right)^m}{\left(1+2x\right)^{\dfrac{1}{2}}-\left(1+3x\right)^{\dfrac{1}{3}}}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{n\left(1+mx\right)^{n-1}.m-m\left(1+nx\right)^{m-1}.n}{\dfrac{1}{2}\left(1+2x\right)^{-\dfrac{1}{2}}.2-\dfrac{1}{3}\left(1+3x\right)^{-\dfrac{2}{3}}.3}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{n\left(n-1\right)\left(1+mx\right)^{n-2}.m-m\left(m-1\right)\left(1+nx\right)^{m-2}.n}{-\dfrac{1}{2}\left(1+2x\right)^{-\dfrac{3}{2}}.2+\dfrac{2}{9}.3.3\left(1+3x\right)^{-\dfrac{5}{3}}}=....\left(thay-x-vo-la-duoc\right)$

Đúng(1)

TH

Trần Hà Linh

9 tháng 2 2021

Tính các giới hạn

a) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{a_0x^m+a_1x^{m-1}+a_2x^{m-2}+...+a_m}{b_0x^n+b_1x^{n-1}+b_2x^{n-2}+...+b_n}$

b) $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n+\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}$

#Toán lớp 11

1

GD

Gaming DemonYT

9 tháng 2 2021

Mình ko thấy đề bài

Đúng(0)

NC

Ngô Chí Thành

22 tháng 2 2021

Tính giới hạn :

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^{n-1}-\left(n+1\right)x+n}{\left(x-1\right)^2}$

#Toán lớp 11

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

22 tháng 2 2021

Bài này chắc chỉ xài L'Hopital chứ tách nhân tử thì không biết đến bao giờ mới xong:

$=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(n-1\right)x^{n-2}-\left(n+1\right)}{2\left(x-1\right)}=\dfrac{-2}{0}=-\infty$

Đúng(3)

NC

Ngô Chí Thành

22 tháng 2 2021

Tính giới hạn :

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^n-nx+n-1}{\left(x-1\right)^2}$

#Toán lớp 11

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

23 tháng 2 2021

Lời giải:

$\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^n-nx+n-1}{(x-1)^2}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x^n-1)-n(x-1)}{(x-1)^2}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(1+x+...+x^{n-1})-n}{x-1}$

$=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)+(x^2-1)+...+(x^{n-1}-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}[1+(x+1)+...+(1+x+...+x^{n-2})]$

$=\frac{n(n-1)}{2}$

Đúng(2)

TC

Thầy Cao Đô

Giáo viên VIP

27 tháng 4 2022 - olm

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( x+2 \right);$

b) $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-x+1 \right).$

#Toán lớp 11

3

NH

Nguyễn Hà Linh

2 tháng 5 2022

loading...

Đúng(0)

HB

Hà Bảo Ngân

2 tháng 5 2022

loading...

Đúng(0)

TH

Trần Hà Linh

9 tháng 2 2021

Tính giới hạn

$lim\dfrac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}$

#Toán lớp 11

0

NC

Ngô Chí Thành

22 tháng 2 2021

Tính giới hạn :

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}\right)$

#Toán lớp 11

2

AH

Akai Haruma

Giáo viên

22 tháng 2 2021

Lời giải:$\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)=\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{1}{1-x}-\frac{n}{1-x^n}+\frac{1}{1-x}\right)$

$=\lim\limits_{x\to 1}\left[\frac{m-(1+x+...+x^{m-1})}{1-x^m}-\frac{n-(1+x+..+x^{n-1})}{1-x^n}\right]$

$=\lim\limits_{x\to 1}\left[\frac{(1-x)+(1-x^2)+...+(1-x^{m-1})}{1-x^m}-\frac{(1-x)+(1-x^2)+...+(1-x^{n-1})}{1-x^n}\right]$

$\lim\limits_{x\to 1}\left[\frac{1+(x+1)+...+(1+x+...x^{m-2})}{1+x+...+x^{m-1}}-\frac{1+(1+x)+...+(1+x+...+x^{n-2})}{1+x+...x^{n-1}}\right]$

$=\frac{m(m-1)}{2m}-\frac{n(n-1)}{2n}=\frac{m-1}{2}-\frac{n-1}{2}=\frac{m-n}{2}$

Đúng(2)

HT

Hoàng Tử Hà

23 tháng 2 2021

C2: Xài L'Hospital

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{m-m.x^n-n+n.x^m}{1-x^m-x^n+x^{m+n}}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{m.n.x^{m-1}-m.n.x^{n-1}}{\left(m+n\right)x^{m+n-1}-m.x^{m-1}-n.x^{n-1}}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{m.n.\left(m-1\right).x^{m-2}-m.n.\left(n-1\right).x^{n-2}}{\left(m+n\right).\left(m+n-1\right)x^{m+n-2}-m\left(m-1\right)x^{m-2}-n\left(n-1\right)x^{n-2}}$

$=\dfrac{m^2n-mn-mn^2+mn}{m^2+2mn-m+n^2-n-m^2+m-n^2+n}=\dfrac{mn\left(m-n\right)}{2mn}=\dfrac{m-n}{2}$

Đúng(2)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP