Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1, Ta có 2009^2008 = (2009^2)^1004 = (.....1)^1004 = .....1
Vậy chũa số tận cùng của 2009^2008 là chữ số 1
\(1+2005+2005^2+...+2005^{2009}\)(1)
\(=\left(1+2005\right)+\left(2005^2+2005^3\right)+...+\left(2005^{2008}+2005^{2009}\right)\)
\(=2006+2005^2.\left(1+2005\right)+...+2005^{2008}.\left(1+2005\right)\)
\(=2006.\left(2005^0+2005^2+...+2005^{2008}\right)⋮2006\)
\(\left(1\right)=\frac{2005^{2010}-1}{2004}\Rightarrow2005^{2010}:2006\text{ dư 1}\)(bn tự tính)
Ta có : \(2008a^2+a=2009b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2008\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2008b+2008b+1\right)=b^2\) (1)
Mặt khác : \(2008a^2+a=2009b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2009a^2-2009b^2+\left(a-b\right)=a^2\)
\(\Leftrightarrow2009\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2009a+2009b+1\right)=a^2\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(2008a+2008b+1\right)\left(2009a+2009b+1\right)=\left(ab\right)^2\) (*)
Nếu : \(a=b\) thì từ (*)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\2008+2008b+1=1\end{cases}}\) đều là số chính phương
Nếu \(a\ne b\) thì từ (*) \(\Rightarrow2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\) là số chính phương
Gọi \(\left(2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2008a+2008b+1⋮d\\2009a+2009b+1⋮d\end{cases}}\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b⋮d\\2009\left(a+b\right)+1⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\left(d\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\left(2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\right)=1\)
mà : \(2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\) là số chính phương
\(\Rightarrow2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\) đồng thời là số chính phương
Nên từ (1) \(\Rightarrow a-b\) là số chính phương.
Vậy : bài toán được chứng minh .
mik tính A trước nhé
\(A=1-2+2^2-...-2^{2007}+2^{2008}\)
\(2.A=2-2^2+2^3-...-2^{2008}+2^{2009}\)
\(2.A-A=\left(2-2^2+2^3-..-2^{2008}+2^{2009}\right)\)\(-\left(1-2+2^2-...-2^{2007}+2^{2008}\right)\)
\(A=1-2^{2009}\)