Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Làm hơi tắt , thông cảm ;))
Từ (1) \(\Rightarrow36=\left(x+y+z\right)^2\Leftrightarrow36=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow36=18+2\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow xy+yz+zx=9\)(4)
Từ (3) \(\Rightarrow16=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\Leftrightarrow16=x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=5\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2=25\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx+2\left(\sqrt{xy^2z}+\sqrt{xyz^2}+\sqrt{x^2yz}\right)=25\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xyz}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)=8\Leftrightarrow\sqrt{xyz}=\frac{8}{4}\Leftrightarrow xyz=4\)(5)
Vậy hệ đã cho tương đương với :
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=6\left(1\right)\\xy+yz+zx=9\left(4\right)\\xyz=4\left(5\right)\end{cases}}\)
Từ (5) \(\Rightarrow yz=\frac{4}{x}\)(Dễ thấy \(x,y,z>0\))
(4) \(\Leftrightarrow xy+yz+zx+x^2=9+x^2\Leftrightarrow x\left(x+y+z\right)+yz=9+x^2\)
\(\Leftrightarrow x.6+\frac{4}{x}=9+x^2\Leftrightarrow x^3-6x^2+9x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x-4\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=4\end{cases}.}\)
Thế vào ta suy ra hệ có các nghiệm : \(\left(x,y,z\right)=\left(1,1,4\right),\left(1,4,1\right),\left(4,1,1\right).\)
\(\hept{\begin{cases}xy=a\\x+y=b\end{cases}\Rightarrow x\left(b-x\right)=a\Leftrightarrow-x^2+bx=a\Leftrightarrow x^2-bx+\frac{b^2}{4}=\frac{b^2}{4}-a}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{b^2}{4}-a\right)=\frac{b^2-4a}{4}\)
có nghiệm \(\Rightarrow b^2-4a\ge0\)
\(\hept{\begin{cases}x=\frac{b-\sqrt{b^2-4a}}{2}\\x=\frac{b+\sqrt{b^2-4a}}{2}\end{cases}}\)
Nghiệm nguyên \(b^2-4a=n^2.b^2\) Với n phải là số lẻ Đảm khi cộng(+) trừ(-) b ra số chẵn
\(\left(z+t\right)^2-4\left(xt\right)+4=n^2\left(z+t\right)^2\)
\(\left(z-t\right)^2+4=n^2\left(z+t\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left[n\left(z+t\right)\right]^2-\left(z-t\right)^2=4\)
Hiệu hai số CP =4 duy nhất có 4 và 0
\(\hept{\begin{cases}\left(z-t\right)^2=0\Rightarrow z=t\\\left[n\left(z+t\right)\right]^2=4\end{cases}}\Rightarrow dpcm\)
Hầy mình không nghĩ lớp 7 đã phải làm những bài biến đổi như thế này. Cái này phù hợp với lớp 8-9 hơn.
1.
Đặt $x^2-y^2=a; y^2-z^2=b; z^2-x^2=c$.
Khi đó: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$
$\text{VT}=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$
$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)$
$=3(x-y)(x+y)(y-z)(y+z)(z-x)(z+x)$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(x+z)$
$=3.4(x-y)(y-z)(z-x)=12(x-y)(y-z)(z-x)$
Ta có đpcm.
Bài 2:
Áp dụng kết quả của bài 1:
Mẫu:
$(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1)$
Tử:
Đặt $x-y=a; y-z=b; z-x=c$ thì $a+b+c=0$
$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra \(\frac{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}=1\)
Ta có : y(x+y+z) + x(x+y+z) + z(x+y+z) = 18 +(-12) + 3
=> (x+y+z)^2 = 9
=> x+y+z = 3 hoặc -3
Xét x+y+z = 3
=> y = 6 ; x = -4 ; z = 1
Xét x+y+z = -3
=> y = -6 ; x= 4 ; z = -1
Vậy (x;y;z) = (6;-4;1) ; (-6;4;-1)