![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(3x^2-18y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=27\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+2z^2-18y^2+3y^2z^2=54\)(*)
Để phương trình có nghiệm nguyên thì \(z^2⋮3\Leftrightarrow z⋮3\Leftrightarrow z^2⋮9\Leftrightarrow z^2\ge9\)
Ta có (*)\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+2z^2+3y^2\left(z^2-6\right)=54\Rightarrow54=3\left(x-3\right)^2+2z^2+3y^2\left(z^2-6\right)\ge3\left(x-3\right)^2+2.9+3y^2\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+3y^2\le12\Leftrightarrow y^2\le4\Leftrightarrow y^2=1\) hoặc y2=4
_ y2=1\(\Leftrightarrow y=1\)
Vậy (*) có dạng \(3\left(x-3\right)^2+5z^2=72\Leftrightarrow5z^2\le72\Leftrightarrow z^2=9\Leftrightarrow z=3\Leftrightarrow x=6\)_y2=4\(\Leftrightarrow y=2\)
Vậy (*) có dạng \(3\left(x-3\right)^2+14z^2=126\Leftrightarrow14z^2\le126\Leftrightarrow z^2\le9\Leftrightarrow\)\(z=3\Leftrightarrow x=3\)
Vậy (x;y;z)={(3;2;3);(6;1;3)}
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số dương, ta được: \(\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+2y+3z}.\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)}=\frac{1}{3}x\Rightarrow\frac{x^2}{x+2y+3z}\ge\frac{11}{36}x-\frac{1}{18}y-\frac{1}{12}z\)Tương tự, ta có: \(\frac{y^2}{y+2z+3x}\ge\frac{11}{36}y-\frac{1}{18}z-\frac{1}{12}x\); \(\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{11}{36}z-\frac{1}{18}x-\frac{1}{12}y\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được: \(G=\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{y^2}{y+2z+3x}+\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Dễ thấy \(z^2\)chia hết cho 3 \(\Rightarrow z⋮3\Rightarrow z^2⋮9\)
* Xét \(z^2=0\), ta có \(3x^2+6y^2-18x-6=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+6y^2=33\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+2y^2=11\)
\(2y^2\le11\Rightarrow y^2\le2^2\Rightarrow y^2=0^2;1^2;2^2\)
\(+y^2=0^2\Rightarrow\left(x-3\right)^2=11\)(vô lí)
\(+y^2=1^2\Rightarrow\left(x-3\right)^2=3^2\Rightarrow x-3=\pm3\)
\(\Rightarrow x=6\)hoặc \(x=0\)
Có các nghiệm \(\left(x=6;y=1;z=0\right)\) \(\left(x=6;y=-1;z=0\right)\)
\(\left(x=0;y=1;z=0\right)\) \(\left(x=0;y=-1;z=0\right)\)
\(+y^2=2^2\Rightarrow\left(x-3\right)^2=3\)( vô lí)
* Xét \(z^2\ge9\) ta có: \(3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18x-6=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33\)
\(+y^2\ge1\)thì \(2z^2+3y^2z^2\ge2.9+3.1.9>33\)(loại)
\(+y^2=0\)thì \(3\left(x-3\right)^2+2z=33\)
\(z^2=9\)thì \(3\left(x-3\right)^2=15\)(loại)
\(z^2>9\Rightarrow z^2\ge6^2=36\)
Ta có \(3\left(x-3\right)^2+2z^2>33\)(loại)
Nghiệm nguyên của ptrình là:
\(\left(x=6;y=1;z=0\right)\) \(\left(x=6;y=-1;z=0\right)\)
\(\left(x=0;y=1;z=0\right)\) \(\left(x=0;y=-1;z=0\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
PT $\Leftrightarrow 3(x^2-6x+9)+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33$
$\Leftrightarrow 3(x-3)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33$
$\Rightarrow 2z^2\vdots 3$
$\Rightarrow z\vdots 3$
Lại có:
$2z^2=33-3(x-3)^2-6y^2-3y^2z^2\leq 33$
$\Rightarrow z^2<17\Rightarrow -4\leq z\leq 4$ (do $z$ nguyên)
Mà $z\vdots 3$ nên $z\in \left\{\pm 3; 0\right\}$
Nếu $z=0$ thì:
$3(x-3)^2+6y^2=33$
$\Leftrightarrow (x-3)^2+2y^2=11$
$\Rightarrow y^2\leq \frac{11}{2}<9\Rightarrow -3< y< 3$
$\Rightarrow y\in \left\{\pm 2; \pm 1; 0\right\}$
Thay từng giá trị vào tìm $x$.
Nếu $z=\pm 3$ thì:
$3(x-3)^2+15y^2=15$
$\Rightarrow 15y^2\leq 15$
$\Rightarrow y^2\leq 1\Rightarrow -1\leq y\leq 1$
$\Rightarrow y\in \left\{\pm 1; 0\right\}$
Thay từng giá trị vào tìm $x$.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=6\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33\)
\(\Rightarrow3\left(x-3\right)^2\le33\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2\le11\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=\left\{0;1;4;9\right\}\)
Thế lần lược vô giải tiếp sẽ ra
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\hept{\begin{cases}x^2-2x\sqrt{y}+2y=x\\y^2-2y\sqrt{z}+2z=y\\z^2-2z\sqrt{x}+2x=z\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x\sqrt{y}+2y+y^2-2y\sqrt{z}+2z+z^2-2z\sqrt{x}+2x=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{y}\right)^2+\left(y-\sqrt{z}\right)^2+\left(z-\sqrt{x}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-\sqrt{y}=0\\y-\sqrt{z}=0\\z-\sqrt{x}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{y}\\y=\sqrt{z}\\z=\sqrt{x}\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=z=0\\x=y=z=1\end{cases}}\)