NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
2
PT
14 tháng 8 2017
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\) và \(x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2010}\)
Ta có:
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
Dấu " = " xảy ra :
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Thay \(x=y=z\) vào \(x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2009}\) ta được:
\(3x^{2009}=3x^{2010}\)
\(\Rightarrow x^{2009}=3^{2009}\)
\(\Rightarrow x=3\)
\(\Rightarrow y=z=x=3\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(3;3;3\right)\)
YH
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 7 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{x-2}=\sqrt{(x-2).1}\leq \frac{x-2+1}{2}\)
\(\sqrt{y+2009}=\sqrt{(y+2009).1}\leq \frac{y+2009+1}{2}\)
\(\sqrt{z-2010}=\sqrt{(z-2010).1}\leq \frac{z-2010+1}{2}\)
Cộng theo vế suy ra :
\(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}\leq \frac{x+y+z}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x-2=y+2009=z-2010=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ y=-2008\\ z=2011\end{matrix}\right.\)
T
11 tháng 5 2019
Em có cách này anh/chị check thử ạ.
Dự đoán xảy ra cực trị tại: x = 2; y = 1; z = 0
Áp dụng BĐT quen thuộc: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\),ta có: \(1\ge\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\ge\frac{9}{x+y+z+6}\)
\(\Rightarrow x+y+z+6\ge9\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Đặt \(t=x+y+z\ge3\).Ta cần tìm min của: \(P\left(t\right)=t+\frac{1}{t}\) với \(t\ge3\)
Ta có: \(P\left(t\right)=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8t}{9}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8t}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8t}{9}\ge\frac{2}{3}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t=3\\\frac{1}{x+1}=\frac{1}{y+2}=\frac{1}{z+3}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x+1=y+2=z+3=3\left(2\right)\end{cases}}\)
Giải (2) ta được x = 2; y = 1; z = 0 (t/m x + y + z = 3)
Vậy \(P_{min}=\frac{10}{3}\Leftrightarrow x=2;y=1;z=0\)
A
1
26 tháng 1 2022
\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow xyz-2\left(xy+yz+xz\right)+4\left(x+y+z\right)-8\le0\)
\(\Leftrightarrow-2\left(xy+yz+xz\right)\le8-4\left(x+y+z\right)-xyz=8-4.3+0=-4\left(xyz\ge0\right)\)
\(A=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)\le3^2-4=5\)
\(max_A=5\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xyz=0\\\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)=0\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left\{0;1;2\right\}\) \(và\) \(các\) \(hoán\) \(vị\)
