Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài bạn ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★ có vài chỗ sai xót cần sửa lại
Còn đây là cách của mình
Để A= \(\sqrt{\frac{2005}{x+y}}+\sqrt{\frac{2005}{y+z}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}\)là số nguyên
thì đồng thời \(\sqrt{\frac{2005}{x+y}}\);\(\sqrt{\frac{2005}{y+z}}\);\(\sqrt{\frac{2005}{x+z}}\)là số hữu tỉ
Xét \(\sqrt{\frac{2005}{x+y}}\)là số hữu tỉ
+ \(2005⋮x+y\)
Do 2005 có duy nhất ước 1 là số chính phương
=> \(x+y=2005\)
Khi đó \(A=1+\sqrt{\frac{2005}{y+z}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}\)là số chính phương khi \(\sqrt{\frac{2005}{y+z}}=\sqrt{\frac{2005}{x+z}}=1\)hoặc\(=\frac{1}{2}\)
=> \(x=y=\frac{2005}{2}\)loại
+ \(x+y⋮2005\)và \(x+y\ne2005\)
=> \(x+y=2005.k^2\)( \(k\inℕ^∗,k>1\))
Tương tự :\(y+z=2005.h^2\)
\(x+z=2005.g^2\)( \(h,g\inℕ^∗;h,g>1\)=> \(2\left(x+y+z\right)=2005\left(k+h+g\right)\)
=> \(A=\frac{1}{k}+\frac{1}{h}+\frac{1}{g}\)
Mà \(A\ge1\)
=> \(\frac{3}{2}\ge\frac{1}{k}+\frac{1}{h}+\frac{1}{g}\ge1\)
=> \(\frac{1}{k}+\frac{1}{h}+\frac{1}{g}=1\)
Giả sử \(k\ge h\ge g\)=> \(\frac{1}{k}\le\frac{1}{h}\le\frac{1}{g}\)
=> \(1\le\frac{3}{g}\)=> \(g\le3\)Mà g>1 => \(g\in\left\{2;3\right\}\)
Với \(g=2\)=> \(k+h\)chẵn => \(\frac{1}{k}+\frac{1}{h}=\frac{1}{2}\)=> \(\frac{h+k}{k.h}=\frac{1}{2}\)=> \(k.h\)chẵn => k ; h chẵn
\(\frac{1}{2}\le\frac{2}{h}\)=> \(h\le4\)=> \(h\in\left\{2;4\right\}\)
Thay vào ta được \(h=4;k=4\)
Khi đó \(\hept{\begin{cases}x+y=2005.4\\y+z=2005.16\\x+z=2005.16\end{cases}}\)= >\(\hept{\begin{cases}x=2005.2\\y=2005.2\\z=2005.14\end{cases}}\)
Vậy \(\left(x,y,z\right)=\left(2005.2;2005.2;2005.14\right)\)và các hoán vị
Để \(\sqrt{\frac{2005}{x+y}}+\sqrt{\frac{2005}{y+z}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}\)là số nguyên thì
\(\hept{\begin{cases}\frac{2005}{x+y}\\\frac{2005}{y+z}\\\frac{2005}{x+z}\end{cases}}\)là bình phương của 1 số hữu tỉ
Gỉa sử đặt \(\frac{2005}{x+y}=\left(\frac{a}{b}\right)^2\Leftrightarrow\frac{a^2\left(x+y\right)}{b^2}=2005\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a^2⋮2005\\x+y⋮2005\end{cases}}\)
Xét \(a^2⋮2005\Rightarrow a^2=2005k\left(k\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2005}{x+y}=\frac{2005k}{b^2}\)\(\Rightarrow b^2=\left(x+y\right)k\)
mà x,y nguyên dương=> x+y=k
\(\Rightarrow b^2⋮2005\)\(\Rightarrow x+y⋮2005\)\(\Rightarrow x+y=2005\)
Tương tự y+z=z+x=2005
Thay vào ta thấy không có giá trị x,y,z thỏa mãn đề bài
Xét \(x+y⋮2005\)
\(\Rightarrow\frac{2005}{x+y}=\frac{1}{h^2}\left(h\inℕ^∗\right)\)
Tương tự \(\frac{2005}{y+z}=\frac{1}{m^2},\frac{2005}{x+z}=\frac{1}{n^2}\left(m,n\inℕ^∗\right)\)
Để \(\sqrt{\frac{2005}{x+y}}+\sqrt{\frac{2005}{y+z}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}\)là số nguyên thì
\(\frac{1}{h}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}⋮3\)
\(\Rightarrow2005⋮3\)(vô lí)
Vậy không có giá trị x,y,z nguyên dương thỏa mãn đề bài
P/s: Em không biết đúng không nữa, mong cô sửa hộ
ĐKXĐ: \(x;y\ge\frac{1}{2}\)
Vì x,y khác 0 nên cùng chia 2 vế của pt bđ cho xy ta được
\(\frac{\sqrt{2y-1}}{y}+\frac{\sqrt{2x-1}}{x}=2\)
Ta có: \(\sqrt{2y-1}\le y\)(1)( \(y\ge\frac{1}{2}\))
Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow2y-1\le y^2\)
\(\Leftrightarrow y^2-2y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Nên (1) đúng \(\Rightarrow\frac{\sqrt{2y-1}}{y}\le1\)
Tương tự \(\frac{\sqrt{2x-1}}{x}\le1\)
Do đó \(\frac{\sqrt{2y-1}}{y}+\frac{\sqrt{2x-1}}{x}\le1+1=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1 (T/M)
Vậy x = y = 1
chắc đề cho x+y+z=1
\(=>\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(=>\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)
\(=\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
làm tương tự với \(\dfrac{y}{y+\sqrt{y+xz}},\dfrac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\)
\(=>A\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=`/3
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm GTLN của P = \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\)
\(P=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}+\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}+\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}\)
\(P=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+x+z\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y+y+z\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+z+y+z\right)\)
\(P\le2\left(x+y+z\right)=2\)
\(P_{max}=2\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Ta có:
\(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{2x}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(1+x^2+2x\right)}=\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\) ; \(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(x+y+z\right)\le\sqrt{2}\left(3+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)
\(P_{max}=6+3\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=1\)
Ta có :
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{981}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=981\)
\(\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}=981\)
\(\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}-x+y=981-x+y\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=981-x+y\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=981-x+y\)
\(\Leftrightarrow\left[2\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\right]^2=\left(981-x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{y}.\sqrt{981}\right)^2=\left(981-x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4y.981=\left(981-x+y\right)^2\)
Vì \(981=3^2.109\Rightarrow2^2.3^2.y.109=\left(981-x+y\right)^2\)
Vế phải : \(\left(981-x+y\right)^2\)là số chính phương \(\Rightarrow y=k^2.109\)với k là số tự nhiên
Vậy phương trình có hai nghiệm : \(\left(x;y\right)=\left(0;981\right);\left(981;0\right)\)