Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}-\frac{1}{m+n+p}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{m+n}{mn}+\frac{m+n}{p\left(m+n+p\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+n\right)\left(\frac{pm+pn+p^2+mn}{mnp\left(m+n+p\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+n\right)\left(n+p\right)\left(p+m\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-n\\m=-p\\p=-n\end{matrix}\right.\)
Cả 3 TH là như nhau
Ví dụ như TH1: \(\frac{1}{m^{2017}}+\frac{1}{-m^{2017}}+\frac{1}{p^{2017}}=\frac{1}{p^{2017}}\)
\(\frac{1}{m^{2017}-m^{2017}+p^{2017}}=\frac{1}{p^{2017}}\) (đpcm)
\(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}=\frac{m}{n}\) (với m;n nguyên dương và nguyên tố cùng nhau)
\(\Leftrightarrow nx+ny\sqrt{2017}=my+mz\sqrt{2017}\)
\(\Leftrightarrow nx-my=\left(mz-ny\right)\sqrt{2017}\)
Vế trái hữu tỉ, vế phải vô tỉ nên dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}nx-my=0\\mz-ny=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{n}{m}=\frac{y}{x}\\\frac{n}{m}=\frac{z}{y}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\Rightarrow y^2=zx\)
\(\left(y+2\right)\left(4zx+6y-3\right)=\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\)
Gọi \(d=ƯC\left(y+2;4y^2+6y-3\right)\)
\(\Leftrightarrow4y^2+6y-3-\left(y+2\right)\left(4y-2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\) là số chính phương khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}y+2=a^2\\4y^2+6y-3=b^2\end{matrix}\right.\) với a;b nguyên dương
Xét \(4y^2+6y-3=b^2\Leftrightarrow16y^2+24y-12=\left(2b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(4y+3\right)^2-21=\left(2b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(4y+3-2b\right)\left(4y+3+2b\right)=21\)
\(\Rightarrow y=2\) (thỏa mãn \(y+2=a^2\))
\(\Rightarrow xz=4\Rightarrow\left(x;z\right)=\left(1;4\right);\left(4;1\right);\left(2;2\right)\)
Vậy ta có các bộ \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;4\right);\left(4;2;1\right);\left(2;2;2\right)\)
Ta có \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
Mà \(a+b+c\ne0\)
=> \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Do \(VT\ge0\)
=> a=b=c
Thay vào ta được
P=2018^3
dk ;x,y>0=> x>2017;y>2018
<=>xy=2018x+2017y
x(y-2018)=2017y
x=2017y/(y-2018)=2017+2018.2017/(y-2018)
x+y=y+2017+(2018.2017)/(y-2018)
=(y-2018)+2018.2017/(y-2018)+(2017+2018)≥2.√(2017.2018)+2017+2018
=(√2017+√2018)^2
khi y=√2018[√2018+√2017)]
x=√2017[√2017+√2018]
\(S=\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\)
\(S=\frac{a^2}{a^2+2ab}+\frac{b^2}{b^2+2bc}+\frac{c^2}{c^2+2ca}\)
\(S\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
\(S_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
GTNN của S hoàn toàn không cần đến điều kiện \(abc=1\), nó luôn bằng 1 với mọi số thực dương a;b;c (nên điều kiện \(abc=1\) là thừa)
Do \(x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x^{2016}\le1\\0\le y^{2016}\le1\\0\le z^{2016}\le1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^{2017}\le x^{2016}\\y^{2017}\le y^{2016}\\z^{2017}\le z^{2016}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}\le x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}\)
\(\Rightarrow x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}\le1\)
Đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
\(\Rightarrow P=1\)
Gọi \(d=ƯC\left(m^2+n^2;m+n\right)\)
\(\Rightarrow\left(m+n\right)^2-\left(m^2+n^2\right)⋮d\Rightarrow2mn⋮d\)
TH1: \(2⋮d\Rightarrow d_{max}=2\) khi \(m;n\) cùng lẻ
TH2: \(m⋮d\) , mà \(m+n⋮d\Rightarrow n⋮d\)
\(\Rightarrow d=ƯC\left(m;n\right)\Rightarrow d=1\)
Th3: \(n⋮d\) tương tự như trên ta có \(d=1\)
Vậy ước chung lớn nhất A; B bằng 2 khi m; n cùng lẻ
Ap dung BDT cosi,ta co:
3x^2017+2014=x^2017+x^2017+x^2017+1+1+............+1>=2017.x^3
CMTT
suy ra 2017(x^3+y^3+z^3)<=3(x^2017+y^2017+z^2017+2014)=6051
Suy ra max= 6051,dau bang xay ra khi va chi khi x=y=z=1
\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\) (có thể chứng minh bằng quy nạp)
\(1+2+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1^3+2^3+...+n^3}}=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2}}=\frac{2}{n\left(n+1\right)}=2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2017}{2019}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2017}{2019}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{n+1}=1-\frac{2017}{2019}=\frac{2}{2019}\)
\(\Rightarrow n+1=2019\Rightarrow n=2018\)
*Nếu \(m+n+2017\ne0\)thì theo t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(x=\frac{m}{n+2017}=\frac{n}{n+2017}=\frac{2017}{m+n}=\frac{1}{2}\)
*Nếu \(m+n+2017=0\)thì \(\hept{\begin{cases}m+n=-2017\\m+2017=-n\\n+2017=-m\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{m}{-m}=\frac{n}{-n}=\frac{2017}{-2017}=-1\)