Question

[Pham Trong Bach]

Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức w = 1 + i 3 z + 2 , trong đó z - 1 ≤ 2 .

A. Hình tròn tâm I 3 ; 3  bán kính R = 4 .

B. Đường tròn tâm I 3 ; 3  bán kính R = 4 .

C. Hình tròn tâm I 3 ; 3  bán kính R = 8 . 

D. Đường tròn tâm I 3 ; 3  bán kính R = 8 .

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A.

Cách 1: w = 1 + i 3 z + 2 ⇔ z = w − 2 1 + i 3 . Từ đó

z − 1 ≤ 2 ⇔ w − 2 1 + i 3 − 1 ≤ 2 ⇔ w − 3 − i 3 ≤ 2 1 + i 3 ⇔ w − 3 + i 3 ≤ 4

Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn tâm I 3 ; 3  bán kính R = 4 . Chọn đáp án A.

Cách 2: Gọi w = x + y i ; x , y ∈ ℝ . Khi đó ta có

w = 1 + i 3 z + 2 ⇔ x + y i = 1 + i 3 z + 2 ⇔ x − 2 + y i 1 + i 3 = z  

⇒ z − 1 = x − 2 + y i 1 + i 3 − 1 = x − 3 − y − 3 i 1 + i 3 ⇒ z − 1 = x − y 3 + i y − x 3 + 4 3 4  

z − 1 ≤ 2 ⇒ x − y 3 2 + y − x 3 + 4 3 2 ≤ 8 ⇒ x − 3 2 + y − 3 2 ≤ 16 .

Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn tâm I 3 ; 3  bán kính R = 4 . Chọn đáp án A.

Bài toán tổng quát: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số w = α z + β  trong đó z là số phức tùy ý thỏa mãn z − z 0 ≤ R  ( z 0 , α ≠ 0 , β  là những số phức cho trước, R là số thực dương cho trước).

Tương tự như lời giải trên, ta có tập hợp cần tìm là hình tròn có tâm là điểm biểu diễn số phức α z 0 + β , với bán kính bằng R α .