Question

[Đặng Thanh Thủy]

Tìm số tự nhiên biết nếu thêm 12 hay bớt 12 đều được số chính phương

Answer 1

[Đinh Thùy Linh]

Số tự nhiên n thêm 12 được số chính phương p² = n + 12 => p >3

Số tự nhiên n bớt 12 được số chính phương q² = n - 12

Do đó p² - q² = 24 => (p - q)(p + q) = 24

Suy ra p - q và p + q là ước của 24 (1)

Nếu để ý  p - q ; p + q có cùng tính chẵn hoặc tính lẻ thì khẳng định (1) suy ra:  p - q và p + q cùng là ước lẻ hoặc cùng là ước chẵn của 24 (1)

Mặt khác p>3 thì trong 2 số p-q hoặc p+q sẽ có 1 số lớn hơn 3. mà ước lớn hơn 3 của 24 là 4;6;8;12;24 => các cặp ước tương ứng với p+q hoặc p-q là: (4;6);(6;4);(8;3)_loại; (12;2); (24_1)_loại.

• Nếu p+q = 4 => p-q = 6 => p =5; q = -1 => n = 13
• Nếu p+q = 6 => p-q = 4 => p =5; q = 1 => n = 13
• Nếu p+q = 12 => p-q = 2 => p =7; q = 5 => n = 37

Vậy chỉ có 2 số n thỏa mãn đề bài là n = 13 và n = 37.