Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
thấy ngay \(p_6>2\text{ do đó: }VP\equiv1\left(\text{mod 8}\right)\text{ từ đó suy VP cũng đồng dư với 1 mod 8}\)
có bổ đề SCP LẺ chia 8 dư 1 do đó:
trong 5 số: \(p_1;p_2;...;p_5\text{ có 4 số chẵn; 1 số lẻ không mất tính tổng quát giả sử: }p_5\text{ lẻ}\Rightarrow16+p_5^2=p_6^2\text{(đơn giản)}\)
\(p+1=2a^2;p^2+1=2b^2\Rightarrow p\left(p-1\right)=2\left(b-a\right)\left(b+a\right)\)
\(\text{thấy ngay p lẻ}\Rightarrow UCLN\left(p^2+1,p+1\right)=1;\Rightarrow\left(a,b\right)=1\Rightarrow\left(b-a,a+b\right)=1\)
thấy ngay p>b-a nên: \(p=a+b;p-1=2a-2b\text{ hay:}a+b=2b-2a+1\Leftrightarrow3a=b+1\)
đến đây thì đơn giản
1:
Nếu trong 5 số \(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5\) không có số nào chia hết cho 3 thì:
\(p_i^2\equiv1\left(mod3\right)\forall i\in\overline{1,5}\Rightarrow p_6^2\equiv5\equiv2\left(mod3\right)\) (vô lí).
Do đó trong 5 số đó có 1 số chia hết cho 3. Giả sử \(p_1⋮3\Rightarrow p_1=3\).
Ta có: \(9+p_2^2+p_3^2+p_4^2+p_5^2=p_6^2\).
Nếu các số \(p_2,p_3,p_4,p_5\) đều lẻ thì \(p_j^2\equiv1\left(mod8\right)\forall j\in\overline{2,5}\Rightarrow p_6^2\equiv5\left(mod8\right)\) (vô lí).
Do đó trong 4 số đó có 1 số chẵn. Giả sử \(p_2⋮2\Rightarrow p_2=2\).
Ta có: \(13+p_3^2+p_4^2+p_5^2=p_6^2\).
Dễ thấy \(p_6\) lẻ nên \(p_3^2+p_4^2+p_5^2\) chẵn. Do đó trong 3 số \(p_3,p_4,p_5\), giả sử \(p_3\) chẵn thì \(p_3=2\).
Ta có: \(17+p_4^2+p_5^2=p_6^2\).
Tương tự cách làm ở trên nếu \(p_4,p_5\) lẻ thì \(p_6^2\equiv3\left(mod8\right)\) (vô lí).
Do đó giả sử \(p_4⋮2\Rightarrow p_4=2\).
Ta có: \(21+p_5^2=p_6^2\Rightarrow p_5⋮2\Rightarrow p_5=2;p_6=5\).
Vậy p1 = 3; p2 = p3 = p4 = p5 = 2; p6 = 5.
1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $$20abc<30(ab+bc+ca)<21abc$$ - Số học - Diễn đàn Toán học
2. [LỜI GIẢI] Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số < - Tự Học 365
vì abcd,ab,ac là số nguyên tố nên là số lẻ hay b,c,d lẻ và khác 5. Ta có :
b2 = cd + b - c \(\Rightarrow\)b ( b - 1 ) = cd - c = 10c + d - c = 9c + d \(\ge\)10
\(\Rightarrow\)b \(\ge\)4 \(\Rightarrow\) b = 7 hoặc b = 9
+) b = 7 ta có : 9c + d = 42 \(\Rightarrow\)d \(⋮\)3 \(\Rightarrow\)d = 3 hoặc d = 9
Nếu d = 3 thì c = \(\frac{39}{9}\)( loại )
Nếu d = 9 thì c = \(\frac{33}{9}\)( loại )
+) b = 9 thì 9c + d = 72 \(\Rightarrow\)d = 9 ; c = 7
Mà a7 và a9 là số nguyên tố thì a = 1
Vậy abcd = 1979
Ta có: \(\overline{ab}\) là số nguyên tố vì thế, b lẻ, do đó: a2+3 phải là số chẵn. Hay a là số lẻ. Ta xét các trường hợp: Nếu: a=1 suy ra: 10+b=b2+4 hay (b-3)(b+2)=0; ta tìm được b=3. Nếu: a=3 suy ra: 30+b=b2+12 hay b2-b-18=0. Phương trình không có nghiệm nguyên dương. Nếu: a=5 suy ra: 50+b=b2+28 tương tự... Nếu a=7; a=9... Tìm được số nhà của Bình là 13.
\(A=\overline{a_1a_2a_3b_1b_2b_3a_1a_2a_3}=\overline{a_1a_2a_3}.10^6+\overline{b_1b_2b_3}.10^3+\overline{a_1a_2a_3}\)
\(=\overline{a_1a_2a_3}.10^6+2.\overline{a_1a_2a_3}.10^3+\overline{a_1a_2a_3}=\overline{a_1a_2a_3}.\left(10^6+2+1\right)\)
\(=\overline{a_1a_2a_3}\left(1002001\right)=\overline{a_1a_2a_3}.7^2.11^2.13^2\)
Vậy \(\overline{a_1a_2a_3}\) phải bình phương của một số nguyên tố p khác với 7,11,13.
Do \(\overline{b_1b_2b_3}< 1000\) nên \(\overline{a_1a_2a_3}< 500\)
\(\Rightarrow10< p< 23\)
Như vậy , \(p\) chỉ có thể là 17 hoặc 19 , do đó \(\overline{a_1a_2a_3}=289\) hoặc \(\overline{a_1a_2a_3}=361.\)