Câu hỏi của quangduy

Question

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển $\left(x+\frac{1}{x}\right)^n$. Biết hệ số của số hạng thứ 3 hơn hệ số của số hạng thứ 2 là 35.

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$\left(x+x^{-1}\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^k\left(x^{-1}\right)^{n-k}=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^{2k-n}$

Theo bài ra ta có: $C_n^2-C_n^1=35$

$\Leftrightarrow\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}-\frac{n!}{\left(n-1\right)!}=35$

$\Leftrightarrow\frac{n\left(n-1\right)}{2}-n=35$

$\Leftrightarrow n^2-3n-70=0\Rightarrow n=10$

Số hạng ko chứa x $\Rightarrow2k-n=0\Rightarrow k=\frac{n}{2}=5$

Số hạng đó là $C_{10}^5$Câu trả lời: $\left(x+x^{-1}\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^k\left(x^{-1}\right)^{n-k}=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^{2k-n}$

Theo bài ra ta có: $C_n^2-C_n^1=35$

$\Leftrightarrow\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}-\frac{n!}{\left(n-1\right)!}=35$

$\Leftrightarrow\frac{n\left(n-1\right)}{2}-n=35$

$\Leftrightarrow n^2-3n-70=0\Rightarrow n=10$

Số hạng ko chứa x $\Rightarrow2k-n=0\Rightarrow k=\frac{n}{2}=5$

Số hạng đó là $C_{10}^5$