Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\sqrt[k+1]{\dfrac{k+1}{k}}>1\) với \(k=1,2,...,n\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[k+1]{\dfrac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\dfrac{1.1...1}{k}\cdot\dfrac{k+1}{k}}\)
\(< \dfrac{1+1+1+...+1+\dfrac{k+1}{k}}{k+1}=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{k}=1+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}\)
Suy ra \(1< \sqrt[k+1]{\dfrac{k+1}{k}}< 1+\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)\)
Lần lượt cho \(k=1,2,3,...,n\) rồi cộng lại được:
\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}+...+\sqrt[n+1]{\dfrac{n+1}{n}}< n+1-\dfrac{1}{n}< n+1\)
Vậy phần nguyên a là n
Ace Legona
hoc24 toàn siêu nhân
lớp gì cũng biết AM-GM
giả / sử không có AM-GM ? toán học đi về đâu?
kể cũng lạ
đã là siêu nhân rồi sao lại phải hỏi nhỉ
Bài 3 :
\(\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+...+\dfrac{1}{2023!}\)
\(\dfrac{1}{2!}=\dfrac{1}{2.1}=1-\dfrac{1}{2}< 1\)
\(\dfrac{1}{3!}=\dfrac{1}{3.2.1}=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}< 1\)
\(\dfrac{1}{4!}=\dfrac{1}{4.3.2.1}< \dfrac{1}{3!}< \dfrac{1}{2!}< 1\)
.....
\(\)\(\dfrac{1}{2023!}=\dfrac{1}{2023.2022....2.1}< \dfrac{1}{2022!}< ...< \dfrac{1}{2!}< 1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+...+\dfrac{1}{2023!}< 1\)
\(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}\left(1\right)\)
Với \(n=2\), BĐT \(\left(1\right)\) trở thành \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\) (đúng)
Giả sử \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k\), nghĩa là \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{k}\left(2\right)\)
Ta chứng minh \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k+1\). Thật vậy, từ \(\left(2\right)\) suy ra:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\)
Vì \(\sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}=\dfrac{\sqrt{k\left(k+1\right)}+1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}\)
Nên \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}\)
Tức là \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k+1\).
Theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số tự nhiên \(n>1\)
1) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{2010}=\dfrac{2010}{a}=\dfrac{a+b+c+2010}{b+c+2010+a}=1\)
\(\dfrac{2010}{a}=1\Rightarrow a=2010\);
\(\dfrac{c}{2010}=1\Rightarrow c=2010\);
\(\dfrac{b}{c}=1\Rightarrow\dfrac{b}{2010}=1\Rightarrow b=2010\).
Vậy (a, b, c) = (2010; 2010; 2010)
3)
a) \(A=\sqrt{x+24}+\dfrac{4}{7}\)
Có: \(\sqrt{x+24}\ge0\forall x\in R\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+24}+\dfrac{4}{7}\ge\dfrac{4}{7}\forall x\in R\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{4}{7}\forall x\in R\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x+24}=0\Rightarrow x+24=0\Rightarrow x=-24\)
Vậy GTNN của \(A=\dfrac{4}{7}\Leftrightarrow x=-24\)
b) \(B=\sqrt{2x+\dfrac{4}{13}}-\dfrac{13}{191}\)
Có: \(\sqrt{2x+\dfrac{4}{13}}\ge0\forall x\in R\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x+\dfrac{4}{13}}-\dfrac{13}{191}\ge-\dfrac{13}{191}\forall x\in R\)
\(\Rightarrow B\ge-\dfrac{13}{191}\forall x\in R\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{2x+\dfrac{4}{13}}=0\)
\(\Rightarrow2x+\dfrac{4}{13}=0\)
\(\Rightarrow2x=-\dfrac{4}{13}\)
\(\Rightarrow x=-\dfrac{2}{13}\)
Vậy GTNN của \(B=-\dfrac{13}{191}\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{13}\)
4)
a) \(A=-\sqrt{x+\dfrac{5}{41}}+\dfrac{7}{12}\)
Có: \(\sqrt{x+\dfrac{5}{41}}\ge0\forall x\in R\)
\(\Rightarrow-\sqrt{x+\dfrac{5}{41}}\le0\forall x\in R\)
\(\Rightarrow-\sqrt{x+\dfrac{5}{41}}+\dfrac{7}{12}\le\dfrac{7}{12}\forall x\in R\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{7}{12}\forall x\in R\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x+\dfrac{5}{41}}=0\)
\(\Rightarrow x+\dfrac{5}{41}=0\)
\(\Rightarrow x=-\dfrac{5}{41}\)
Vậy GTLN của \(A=\dfrac{7}{12}\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{41}\)
b) \(B=\dfrac{-5}{13}-\sqrt{x-\dfrac{2}{3}}\)
Có: \(\sqrt{x-\dfrac{2}{3}}\ge0\forall x\in R\)
\(\Rightarrow-\sqrt{x-\dfrac{2}{3}}\le0\forall x\in R\)
\(\Rightarrow\dfrac{-5}{13}-\sqrt{x-\dfrac{2}{3}}\le\dfrac{-5}{13}\forall x\in R\)
\(\Rightarrow B\le\dfrac{-5}{13}\forall x\in R\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x-\dfrac{2}{3}}=0\)
\(\Rightarrow x-\dfrac{2}{3}=0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}\)
Vậy GTLN của \(B=\dfrac{-5}{13}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\)
Bài1:
Ta có:
a)\(\sqrt{\dfrac{3^2}{5^2}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}\)
b)\(\dfrac{\sqrt{3^2}+\sqrt{42^2}}{\sqrt{5^2}+\sqrt{70^2}}=\dfrac{\sqrt{9}+\sqrt{1764}}{\sqrt{25}+\sqrt{4900}}=\dfrac{3+42}{5+70}=\dfrac{45}{75}=\dfrac{3}{5}\)
c)\(\dfrac{\sqrt{3^2}-\sqrt{8^2}}{\sqrt{5^2}-\sqrt{8^2}}=\dfrac{\sqrt{9}-\sqrt{64}}{\sqrt{25}-\sqrt{64}}=\dfrac{3-8}{5-8}=\dfrac{-5}{-3}=\dfrac{5}{3}\)
Từ đó, suy ra: \(\dfrac{3}{5}=\sqrt{\dfrac{3^2}{5^2}}=\dfrac{\sqrt{3^2}+\sqrt{42^2}}{\sqrt{5^2}+\sqrt{70^2}}\)
Bài 2:
Không có đề bài à bạn?
Bài 3:
a)\(\sqrt{x}-1=4\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=5\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow x=5\)
b)Vd:\(\sqrt{x^4}=\sqrt{x.x.x.x}=x^2\Rightarrow\sqrt{x^4}=x^2\)
Từ Vd suy ra:\(\sqrt{\left(x-1\right)^4}=16\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=16\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=4^2\)
\(\Rightarrow x-1=4\)
\(\Rightarrow x=5\)