K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
7 tháng 11 2020

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\le t\le2\sqrt{2}\\\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}=\frac{t^2-4}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow t-\frac{t^2-4}{2}=m\Leftrightarrow-\frac{1}{2}t^2+t+2=m\)

Xét \(f\left(t\right)=-\frac{1}{2}t^2+t+2\) trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}-2\)

\(\Rightarrow2\sqrt{2}-2\le m\le2\)

8 tháng 8 2021

Vì $\sqrt{1+x}\ge 0,\sqrt{8-x}\ge 0,\sqrt{(1+x)(8-x)}\ge 0$

$\to \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}\ge 0$

mà $\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}=m$

=> m≥0

8 tháng 8 2021

Đặt : 

\(t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}\) \(\left(t\ge0\right)\)

DKXĐ : \(-1\le x\le8\)

\(\Leftrightarrow t^2=9+2\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}\) (1) 

BBT của \(t^2\) :

 \(x\) \(-1\)                                  \(0\)                                  \(8\)
\(t^2\)

                                        \(9+2\sqrt{2}\)

\(9\)                                                                           \(9\)

\(t\)

                                        \(1+2\sqrt{2}\)

                                                                            \(1\)

          \(2\sqrt{2}\)                                                                    

 

\(\Leftrightarrow t\in\left(1,2\sqrt{2}\right)\)


Thay \(\left(1\right)\) vào pt ta có :\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\dfrac{t^2-9}{2}\) (1)

\(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2+2t-9=2m\)

BBT của \(f\left(t\right)\) :

 \(t\) \(1\)                                                             \(2\sqrt{2}\)
\(f\left(t\right)\)

                                                                                                                                         \(4\sqrt{2}-1\)

\(-6\)

 

\(\Leftrightarrow2m\in\left[-6;4\sqrt{2}-1\right]\)   thì pt có nghiệm 

\(\Leftrightarrow m\in\left(-3;\dfrac{-1+4\sqrt{2}}{2}\right)\)

Vẽ dùm mình mấy cái mũi tên trên BBT nhé UwU

 

 

8 tháng 8 2021

Để pt có nghiệm thì

\(1+x\ne0\) và \(8-x\ne0\)

\(\Rightarrow x\ne-1\) và \(x\ne8\)

8 tháng 8 2021

\(\sqrt{1+x} +\sqrt{8-x}+\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=m\)

( mk viết thiếu đề)

 

24 tháng 3 2016

Điều kiện x>1

Từ (1) ta có  \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3

Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)

Tìm điều kiện của t :

- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)

- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)

Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3

- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)

 \(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)

Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)

Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)

Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)

- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)

- Bảng biến thiên :

x2                                              \(\frac{5}{2}\)                                                    3
y'                  +                             0                       -
y

-6                                                                                                      -6

                                                -\(\frac{25}{4}\)

 

24 tháng 3 2016

Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6

NV
4 tháng 10 2021

Giống bài trước, \(x=3+2\sqrt{2}\) là nghiệm

\(\Rightarrow y=\dfrac{mx+1}{x-m}\Rightarrow y'=\dfrac{-m^2-1}{\left(x-m\right)^2}\) nghịch biến trên miền xác định

\(\Rightarrow\max\limits_{\left[1;2\right]}y=y\left(1\right)=\dfrac{m+1}{1-m}=-2\Rightarrow m\)

NV
20 tháng 6 2021

\(1\le1+\sqrt{1-x^2}\le2\Rightarrow3\le3^{1+\sqrt{1-x^2}}\le9\)

Đặt \(3^{1+\sqrt{1-x^2}}=t\Rightarrow t\in\left[3;9\right]\)

Phương trình trở thành: \(t^2-\left(m+2\right)t+2m+1=0\) 

\(\Leftrightarrow t^2-2t+1=m\left(t-2\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{t^2-2t+1}{t-2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\dfrac{t^2-2t+1}{t-2}\) trên \(\left[3;9\right]\)

\(f'\left(t\right)=\dfrac{t^2-4t+3}{\left(t-2\right)^2}\ge0\) ; \(\forall t\in\left[3;9\right]\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên khoảng đã cho

\(\Rightarrow f\left(3\right)\le f\left(t\right)\le f\left(9\right)\Rightarrow4\le m\le\dfrac{64}{7}\)

Có 6 giá trị nguyên của m 

20 tháng 6 2021

Cho e hỏi tại sao điều kiện lại nằm trong khoảng [1,2] vậy ạ ?

11 tháng 4 2016

Ta có \(\sqrt{\left(m+2\right)x+m}\ge\left|x-1\right|\Leftrightarrow\left(m+2\right)x+m\ge x^2-2x+1\)

                                                   \(\Leftrightarrow m\ge\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) (vì \(x\in\left[0;2\right]\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\) ta có

\(f'\left(x\right)=\frac{x^2+2x-5}{\left(x+1\right)^2};f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=-1+\sqrt{6}\)

Lập bảng biến thiên ta được 

\(f\left(0\right)=1;f\left(2\right)=-1\)

\(f\left(-1+\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6}-6\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm thì \(m>\) min (0;2] \(f\left(x\right)=f\left(-1+\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6-6}\)