Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ ĐKXĐ: \(x>\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-1}{\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-1}=mx\)
\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-2x}{\sqrt{2x-1}}=mx\Leftrightarrow\frac{3x-2}{\sqrt{2x-1}}=m\)
Đặt \(\sqrt{2x-1}=a>0\Rightarrow x=\frac{a^2+1}{2}\Rightarrow\frac{3a^2-1}{2a}=m\)
Xét hàm \(f\left(a\right)=\frac{3a^2-1}{2a}\) với \(a>0\)
\(f'\left(a\right)=\frac{12a^2-2\left(3a^2-1\right)}{4a^2}=\frac{6a^2+2}{4a^2}>0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến
Mặt khác \(\lim\limits_{a\rightarrow0^+}\frac{3a^2-1}{2a}=-\infty\); \(\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\frac{3a^2-1}{2a}=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
b/ ĐKXĐ: \(x\ge2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[4]{\left(x-1\right)^2}+4m\sqrt[4]{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\left(m+3\right)\sqrt[4]{\left(x-2\right)^2}=0\)
Nhận thấy \(x=2\) không phải là nghiệm, chia 2 vế cho \(\sqrt[4]{\left(x-2\right)^2}\) ta được:
\(\sqrt[4]{\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2}+4m\sqrt[4]{\frac{x-1}{x-2}}+m+3=0\)
Đặt \(\sqrt[4]{\frac{x-1}{x-2}}=a\) pt trở thành: \(a^2+4m.a+m+3=0\) (1)
Xét \(f\left(x\right)=\frac{x-1}{x-2}\) khi \(x>0\)
\(f'\left(x\right)=\frac{-1}{\left(x-2\right)^2}< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến
\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\frac{x-1}{x-2}=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x-1}{x-2}=1\) \(\Rightarrow f\left(x\right)>1\Rightarrow a>1\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow m\left(4a+1\right)=-a^2-3\Leftrightarrow m=\frac{-a^2-3}{4a+1}\)
Xét \(f\left(a\right)=\frac{-a^2-3}{4a+1}\) với \(a>1\)
\(f'\left(a\right)=\frac{-2a\left(4a+1\right)-4\left(-a^2-3\right)}{\left(4a+1\right)^2}=\frac{-4a^2-2a+12}{\left(4a+1\right)^2}=0\Rightarrow a=\frac{3}{2}\)
\(f\left(1\right)=-\frac{4}{5};f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{4};\) \(\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\frac{-a^2-3}{4a+1}=-\infty\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)\le-\frac{3}{4}\Rightarrow m\le-\frac{3}{4}\)
ĐKXĐ: \(-1< x< 2\)
Khi đó:
\(\Leftrightarrow log_2\left(2-x\right)\left(2x+2\right)-2log_2\left(m-\frac{x}{2}+4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow log_2\frac{\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}}{m-\frac{x}{2}+4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)}\le0\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}}{m-\frac{x}{2}+4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)}\le1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}\le m-\frac{x}{2}+4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}+\frac{x}{2}-4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)\le m\)
Đặt \(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}=t\Rightarrow\sqrt{3}\le t\le3\)
\(t^2=x+4+2\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}\Rightarrow\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}+\frac{x}{2}=\frac{t^2}{2}-2\)
\(\Rightarrow\frac{t^2}{2}-4t-2\le m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{t^2}{2}-4t-2\) trên \(\left[\sqrt{3};3\right]\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(3\right)=-\frac{19}{2}\Rightarrow m_{min}=-\frac{19}{2}\)
Vì $\sqrt{1+x}\ge 0,\sqrt{8-x}\ge 0,\sqrt{(1+x)(8-x)}\ge 0$
$\to \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}\ge 0$
mà $\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}=m$
=> m≥0
Đặt :
\(t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}\) \(\left(t\ge0\right)\)
DKXĐ : \(-1\le x\le8\)
\(\Leftrightarrow t^2=9+2\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}\) (1)
BBT của \(t^2\) :
| \(x\) | \(-1\) \(0\) \(8\) |
| \(t^2\) | \(9+2\sqrt{2}\) \(9\) \(9\) |
| \(t\) | \(1+2\sqrt{2}\) \(1\) \(2\sqrt{2}\) |
\(\Leftrightarrow t\in\left(1,2\sqrt{2}\right)\)
Thay \(\left(1\right)\) vào pt ta có :\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\dfrac{t^2-9}{2}\) (1)
\(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2+2t-9=2m\)
BBT của \(f\left(t\right)\) :
| \(t\) | \(1\) \(2\sqrt{2}\) |
| \(f\left(t\right)\) | \(4\sqrt{2}-1\) \(-6\) |
\(\Leftrightarrow2m\in\left[-6;4\sqrt{2}-1\right]\) thì pt có nghiệm
\(\Leftrightarrow m\in\left(-3;\dfrac{-1+4\sqrt{2}}{2}\right)\)
Vẽ dùm mình mấy cái mũi tên trên BBT nhé UwU
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
| x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
| y' | + 0 - |
| y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6
Để pt có nghiệm thì
\(1+x\ne0\) và \(8-x\ne0\)
\(\Rightarrow x\ne-1\) và \(x\ne8\)
\(\sqrt{1+x} +\sqrt{8-x}+\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=m\)
( mk viết thiếu đề)