Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giống bài trước, \(x=3+2\sqrt{2}\) là nghiệm
\(\Rightarrow y=\dfrac{mx+1}{x-m}\Rightarrow y'=\dfrac{-m^2-1}{\left(x-m\right)^2}\) nghịch biến trên miền xác định
\(\Rightarrow\max\limits_{\left[1;2\right]}y=y\left(1\right)=\dfrac{m+1}{1-m}=-2\Rightarrow m\)
Lời giải:
a. Đặt $f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}$
$f'(x)=1+\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}=0\Leftrightarrow x=\frac{-1}{\sqrt{2}}$
Lập BBT ta thấy:
$f_{\min}=f(\frac{-1}{\sqrt{2}})=\frac{\sqrt{2}}{2}$
\(f(x)\to +\infty \) khi \(x\to +\infty; x\to -\infty \)
Do đó $x+\sqrt{2x^2+1}=m$ có nghiệm khi $m\geq \frac{\sqrt{2}}{2}$
b. TXĐ: $x\in [3;+\infty)$
BPT $\Leftrightarrow m(x-1)\leq \sqrt{x-3}+1$
$\Leftrightarrow m\leq \frac{\sqrt{x-3}+1}{x-1}$
Xét $f(x)=\frac{\sqrt{x-3}+1}{x-1}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=7-2\sqrt{3}$
Lập BBT ta thấy $f_{\max}=f(7-2\sqrt{3})=\frac{1+\sqrt{3}}{4}$
Để BPT có nghiệm thì $m\leq \frac{1+\sqrt{3}}{4}$
ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+2x-6>0\\2x^2-5x+4>0\\mx-5>0\end{matrix}\right.\)
Khi đó pt tương đương:
\(2log_{mx-5}\left(x^2+2x-6\right)=2log_{mx-5}\left(2x^2-5x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x-6=2x^2-5x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2-7x+10=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=2\end{matrix}\right.\)
Thay 2 nghiệm vào 2 điều kiện đầu đều thỏa mãn
\(\Rightarrow\) pt có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(mx-5>0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}2m-5>0\\5m-5\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\frac{5}{2}\\m\le1\end{matrix}\right.\) (ko có m thỏa mãn)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}5m-5>0\\2m-5\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m\le\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1< m\le\frac{5}{2}\)
Lời giải:
PT \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 3\\ 2x^2+mx=(3-x)^2=x^2-6x+9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 3\\ x^2+(m+6)x-9=0(1)\end{matrix}\right.\)
Với (1):
$\Delta=(m+6)^2+36$ nên PT(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$. Để PT ban đầu có duy nhất 1 nghiệm thì PT (1) phải có 1 nghiệm $x_1\leq 3$, nghiệm còn lại $x_2>3$
Điều này xảy ra khi mà :
\((x_1-3)(x_2-3)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2-3(x_1+x_2)+9\leq 0\)
\(\Leftrightarrow -9-3(-m-6)+9\leq 0\Leftrightarrow 3(m+6)\leq 0\Leftrightarrow m\leq -6\)