Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Minh Hà Tuấn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Áp dung BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)
\(=>x,y,z>0\left(taco\right)\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+xz}\)
\(=>P\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\)
\(=>P\ge\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}\right)+\frac{7}{xy+yz+xz}\)
\(\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{7}{xy+yz+zx}\)
\(=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{xy+yz+xz}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{21}{\left(x+y+z\right)^2}\ge30\)
do \(3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2and\left(x+y+z=1\right)\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3
zậy...........
\(ĐK:x,y,z\ne0\)
Đặt \(A=\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}=\frac{xyz}{z^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{x^3}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)\)
Dễ CM \(x+y+z=0\) thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
=>\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\left(\frac{1}{x}\right)^3+\left(\frac{1}{y}\right)^3+\left(\frac{1}{z}\right)^3=\frac{3}{xyz}\)
Do đó \(A=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
Cách 1 : áp dụng hđt a3 +b3 +c3 = 3abc nếu a+b+c = 0 . cách này thì bạn có thể chúng minh đc nhưng hơi dài.
Cách 2 : ta sử dụng trực tiếp
\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=0 =>\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)=\(\frac{-1}{z}\)=> (\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\))3 = \(\frac{-1}{z^3}\)=> \(\frac{1}{x^3}\)+\(\frac{1}{y^3}\)\(+3\frac{1}{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)= \(\frac{-1}{z^3}\) ( áp dụng từ hđt quen thuộc \(\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)) => \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+3\frac{1}{xy}\left(\frac{-1}{z}\right)\)= \(\frac{-1}{z^3}\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)= 0)
chuyển vế ta có \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)( tương tự cách 1 nhưng cách 1 là ta áp dụng vào dạng tương tự)
Cũng từ 1 trong trong 2 cách này ta có đoạn sau giống nhau
\(\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}=\frac{xyz}{z^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{x^3}=xyz\left(\frac{1}{z^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
\(\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{2\sqrt{x^2.yz}}=\frac{1}{2\sqrt{xy.xz}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{y^2+zx}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\right)\) ; \(\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\right)\)
Cộng vế với vế ta sẽ có đpcm
tiếp tục câu 2,vì máy bị lỗi nên phải tách ra:
Ta có:\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+xz+yz\right)\right).\)
Dó đó:\(x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+xz\right)+2010\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^3.\)(2)
TỪ \(\left(1\right),\left(2\right)\)suy ra \(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}.\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2010}}{3}\)
2)Ta có:
\(x\left(x^2-yz+2010\right)=x\left(x^2+xy+xz+1340\right)>0\)
Tương tự ta có:\(y\left(y^2-xz+2010\right)>0,z\left(z^2-xy+2010\right)>0\)
Áp dụng svac-xơ ta có:
\(P=\frac{x^2}{x\left(x^2-yz+2010\right)}+\frac{y^2}{y\left(y^2-xz+2010\right)}+\frac{z^2}{z\left(z^2-xy+2010\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}.\)(1)
\(P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+xz}+\frac{1}{1+yz}\ge\frac{9}{3+xy+xz+yz}\)
Lại có :\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\le3\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{3+3}=1.5\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1