Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đây nhé
Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2c+b+a=2c+z\\y+z=2a+b+c=2a+x\\x+z=2b+a+c=2b+y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y-z}{2}=c;\frac{y+z-x}{2}=a;\frac{x+z-y}{2}=b\)
Thay vào PT đã cho ở đề bài , ta có :
\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)
( cái này cô - si cho x/y + /x ; x/z + z/x ; y/z + z/y)
Đề lạ đời, sao lại tìm các số thực dương a,b,c, đáng lẽ phải là cho các số thực dương a,b,c chứ. Mà đã thực dương rồi sao \(c\ge0\)(c = 0 đâu có nghĩa là c dương)
Mình nghĩ đề đúng phải là: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(c\ge a\)(vì sau khi suy nghĩ và viết lại BĐT thì khi ta nhân hai phân số \(\frac{b}{a}.\frac{c}{b}=\frac{c}{a}\ge1\), cũng có thể đấy chứ) . CMR:...
Bất đẳng thức đã cho tương đương với \(\frac{1}{\left(1+\frac{b}{a}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{c}{b}\right)^2}+\frac{4}{\left(1+\frac{a}{c}\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)
Đặt \(\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y\left(x,y>0\right)\). Khi đó \(\frac{a}{c}=\frac{1}{xy}\). Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{1}{xy+1}\)(*) với x, y là các số dương
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(1-xy\right)^2+xy\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*
Ta quy bài toán về chứng minh \(\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)
Đặt \(P=\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:\(\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}+1\ge\frac{4xy}{1+xy}\)
Khi đó \(P=\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}+1-1\ge\frac{1}{xy+1}+\frac{4xy}{1+xy}-1\)\(=\frac{3xy}{1+xy}=\frac{3}{\frac{1}{xy}+1}\)(1)
Từ giả thiết \(c\ge a\)suy ra \(\frac{a}{c}\le1\)hay \(\frac{1}{xy}\le1\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{3}{\frac{1}{xy}+1}\ge\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
1) \(a^2+b^2+c^2=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-4ab-4bc-4ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=4\left(ab+bc+ca\right)=36\)
Mà \(a;b;c\in R^+\Rightarrow a+b+c>0\)
\(\Rightarrow a+b+c=6\)
2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số \(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.
Giả sử đó là a2 - 1 và b2 - 1. Khi đó \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\) (2)
Mà \(4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\) (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)
Từ (2) và (3) ta có đpcm.
Sai thì chịu
Xí quên bài 2 b:v
b) Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0\)
Suy ra \(a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}\)
Hay \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)\)
Suy ra \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)\)
\(\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunhiacopxki) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)