K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

10 tháng 12 2016

\(3y^2+x^2+2xy+2x+6y+2017=x^2+2x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+\left(2y^2+4y+2\right)+2014\)

\(=\left(x+y+1\right)^2+2\left(y+1\right)^2+2014\ge2014\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y+1=0\\y+1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy BT đạt GTNN bằng 2014 tại (x;y) = (0;-1)

8 tháng 11 2017

\(T=3y^2+x^2+2xy+2x+6y+2017=\left(x^2+2x+1\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+6y+9\right)-x^2+y^2+2007\)

\(=\left(x+1\right)^2+\left(x+y\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(y-x\right)\left(y+x\right)+2007\)

Do \(\left(x+1\right)^2;\left(x+y\right)^2;\left(y+3\right)^2\ge0\forall x;y\)

nhưng nó không thể đồng thời cùng xảy ra.

Nên ta xét với x = y = -1 và x = y = -3

thì ta thấy với x = y = -1 thì T = 2015

Vậy MinT = 2015 \(\Leftrightarrow x=y=-1\)

31 tháng 10 2018

\(2A=6y^2+2x^2+4xy+4x+12y+4034\)

\(2A=x^2+4xy+4y^2+x^2+4x+4+2y^2+12y+18+4012\)

\(2A=\left(x+2y\right)^2+\left(x+2\right)^2+2\left(y+3\right)^2+4012\)

\(A=\dfrac{\left(x+2y\right)^2+\left(x+2\right)^2+2\left(y+3\right)^2}{2}+2006\)

Dấu = xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x+2y=0\\\left\{{}\begin{matrix}x+2=0\\y+3=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2y\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=-2y\\x=-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2y\\y=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Th1 x=-2 và y=1 thì \(A_{min}=2022\)

Th2 x=6 và y =-3 thì \(A_{min}=2038\)

vậy \(A_{min}=2022\) khi x=-2 và y = 1 (vì cái này là GTNN nên lấy cái nhỏ nhất )

NV
19 tháng 8 2021

\(S=\left(x^2+y^2+1+2xy+2x+2y\right)+\left(y^2-4y+4\right)+2021\)

\(S=\left(x+y+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2021\ge2021\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(-3;2\right)\)

5 tháng 7 2016

\(A=\sqrt{x^2-6x+9+2\left(y^2+2y+1\right)}+\sqrt{x^2+2x+1+3\left(y^2+2y+1\right)}.\)

\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)

Với mọi giá trị được xác định của x; giá trị của biến y không phụ thuộc vào x, ta luôn có:

\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\le\sqrt{\left(x-3\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2}\)(1)

Dấu "=" khi y = -1.

(1) \(\Rightarrow A\le\left|x-3\right|+\left|x+1\right|\)(2)

  • \(x< -1\)(2) \(\Rightarrow A\le-\left(x-3\right)-\left(x+1\right)=-2x+2>4\forall x< -1\)
  • \(-1\le x\le3\)(2) \(\Rightarrow A\le-\left(x-3\right)+\left(x+1\right)=4\forall-1\le x\le3\)
  • \(x>3\)(2) \(\Rightarrow A\le\left(x-3\right)+\left(x+1\right)=2x-2>4\forall x>3\)

Vậy GTNN của A = 4 khi -1<= x <= 3 và y = -1.

27 tháng 5 2021

\(M=5x^2+y^2-2x+2y+2xy+2004\)

\(=\left(x^2+2x+1\right)+2y\left(x+1\right)+y^2+4x^2-4x+1+2002\)

\(=\left(x+1\right)^2+2y\left(x+1\right)+y^2+\left(2x-1\right)^2+2002\)

\(=\left(x+1+y\right)^2+\left(2x-1\right)^2+2003\ge2002\) với mọi x,y

=> \(M_{min}=2002\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\2x-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{2}\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(M_{min}=2002\)

27 tháng 5 2021

Dòng 4 toi viết nhầm nha, là +2002 

9 tháng 10 2017

Lời giải:

\(A=3x^2+11y^2-2xy-2x+6y-1\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x^2+y^2+\frac{1}{4}-2xy-x+y\right)+2\left(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}\right)+10\left(y^2+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)-2\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2+2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+10\left(y+\frac{1}{4}\right)^2-2\)

Thấy rằng \(\hept{\begin{cases}\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\\\left(x-\frac{1}{4}\right)^2\ge0\\\left(y+\frac{1}{4}\right)^2\ge0\end{cases}}\Rightarrow A\ge-2\)

Vậy \(A_{min}=-2\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y-\frac{1}{2}=0\\x-\frac{1}{4}=0\\y+\frac{1}{4}=0\end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4};y=\frac{-1}{4}}\)

1 tháng 6 2016

\(B=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+2016\)

\(B=\left(x+y\right)^2+\left(y-2\right)^2+2016\)

Vậy Min B =2016 <=> x=-2;y=2

26 tháng 8 2018

\(B=\sqrt{x^2-6x+2y^2+4y+11}+\sqrt{x^2+2x+3y^2+6y+4}=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)

A/dụng bđt Mincốpxki có:

\(B=\sqrt{\left(3-x\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\ge\sqrt{\left(3-x+x+1\right)^2+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\left(y+1\right)^2}=\sqrt{4^2+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\left(y+1\right)^2}\ge\sqrt{4^2}=4\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=3;y=-1\\x=1;y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy MinB = 4 <=> (x;y) = (3;-1); (1;-1)