Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
\(M=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}\)
ta co \(1.\sqrt{x-1}\le\frac{x+1-1}{2}=\frac{x}{2}\)
\(2.\sqrt{y-4}=\sqrt{4}\sqrt{y-4}\le\frac{y-4+4}{2}=\frac{y}{2}\)
\(M=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{4}\sqrt{y-4}}{2y}\le\frac{\frac{x}{2}}{x}+\frac{\frac{y}{2}}{2y}=\frac{x}{2x}+\frac{y}{4y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
vay max \(M=\frac{3}{4}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}=\dfrac{\sqrt{\left(x-1\right)\cdot1}}{x}+\dfrac{4\sqrt{y-4}}{4y}\le\dfrac{x-1+1}{2x}+\dfrac{y-4+4}{4y}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=2;y=8\)
Tham khảo:
Cho 3 số thức x,y,z thỏa mãn \(x\ge1;y\ge4;z\ge9\) tìm giá trị lớn nhất của biết thức Q=\(\dfrac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt... - Hoc24
pt\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}\)
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ko âm ta có:
\(\sqrt{x-1}=\sqrt{1\left(x-1\right)}\le\frac{x+1-1}{2}=\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{1}{2}\)(vì x dương)
\(\sqrt{y-4}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(y-4\right)}\le\frac{1}{2}.\frac{4+y-4}{2}=\frac{y}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{y-4}}{y}\le\frac{1}{4}\)(vì y dương)
\(\Rightarrow Q=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(Q\)max là \(\frac{3}{4}\)khi \(x=2,y=8\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(yz\sqrt{x-1}=yz\sqrt{\left(x-1\right)1}\le yz\frac{\left(x-1\right)+1}{2}=\frac{xyz}{2}\);
\(zx\sqrt{y-4}=\frac{zx}{2}\sqrt{\left(y-4\right)4}\le\frac{zx}{2}\frac{\left(y-4\right)+4}{2}=\frac{xyz}{4}\);
\(xy\sqrt{z-9}=\frac{xy}{3}\sqrt{\left(z-9\right)9}\le\frac{xy}{3}\frac{\left(z-9\right)+9}{2}=\frac{xyz}{6}\)
\(\Rightarrow\frac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-4}+xy\sqrt{z-9}}{xyz}\le\frac{\frac{xyz}{2}+\frac{xyz}{4}+\frac{xyz}{6}}{xyz}\)\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}\)
Vậy \(P_{max}=\frac{11}{12}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2;y=8;z=18\)
Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}}{1+x+xy}+\frac{\sqrt{y}}{1+y+yz}+\frac{\sqrt{z}}{1+z+xz}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{x+xy+xyz}+\frac{xy\sqrt{z}}{xy+xyz+x^2yz}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{xy+x+1}+\frac{\sqrt{xy}.\sqrt{xyz}}{xy+x+1}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{xy}}{xy+x+1}\le\frac{\frac{x+1}{2}+\frac{x\left(y+1\right)}{2}+\frac{xy+1}{2}}{xy+x+1}\) (bđt cosi)
=> \(P\le\frac{x+1+xy+x+xy+1}{2\left(xy+x+1\right)}=\frac{2\left(xy+x+1\right)}{2\left(xy+x+1\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra<=> x = y = z = 1
Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z = 1
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+3}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow b\left(b^2+1\right)-3a^2=\left(a^2+1\right)a-3b^2\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+3a^2-3b^2+a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(3a+3b\right)+a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+3a+3b+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\Rightarrow\sqrt{2x+3}=\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow y=2x+3\)
\(\Rightarrow M=x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)-4x^2-3\) tới đây chắc chỉ cần bấm máy
\(M=\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy : \(\frac{\sqrt{x-1}}{x}=\frac{\sqrt{\left(x-1\right).1}}{x}\le\frac{x-1+1}{2x}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{y-4}}{y}=\frac{\sqrt{\left(y-4\right).4}}{4y}\le\frac{y-4+4}{4y}=\frac{1}{4}\)
Cộng theo vế : \(M\le\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\)
Vậy ......................................