Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
cho x,y là các số nguyên thỏa mãn:(x^2+1)chia hết cho(xy +1). Chứng minh (y^2+1) chia hết cho (xy+1)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì x^2+1 chia hết xy+1 nên y^2(x^2+1) chia hết xy+1
hay x^2y^2 +y^2 chia hết xy+1.
Ta có x^2y^2+y^2=(x^2y^2 +2xy+1) +y^2 -2xy-1 Thêm và bớt 2xy+1
=(x^2y^2 +2xy+1) -2(xy+1) +y^2+1
=(xy+1)^2 -2(xy+1) +y^2+1 suy ra y^2+1 chia hết xy+1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Do \(3x-1⋮y\) và \(3y+1⋮x\)nên \(\left(3x-1\right)\left(3y+1\right)⋮xy\)
\(\Rightarrow9xy+3x+3y+1⋮xy\)
Mà \(9xy⋮xy\)
\(\Rightarrow\frac{3x}{y}+3+y\frac{1}{y}⋮x\)
Do vai trò của x , y như nhau , nên giả sử
\(\Rightarrow\frac{x}{y}\le1\)
\(\Rightarrow\frac{3x}{y}+3+\frac{1}{y}< 7\)
\(\Rightarrow1< x< 7\)
\(\Rightarrow x=2;3;4;5;6\)
Thay x vào 3x + 1 \(⋮\)y và 3y-1\(⋮x\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình,
trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z
=> xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3=> xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1,
thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2,
thay vào (2), => z = 3.Nếu xy = 3,
do x ≤ y nên x = 1 và y = 3,
thay vào (2), => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hacker9x