Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(\frac{a^2+b^2}{ab-1}=k\left(k\in Z\right)\). Ta sẽ đi tìm k và chứng minh k là số nguyên tố.
Đặt \(m=a+b;n=a-b\), ta có \(\frac{a^2+b^2}{ab-1}=k\Rightarrow\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2-4}=\frac{k}{2}\)
TH1: Nếu trong a và b có một số chẵn, một số lẻ:
Khi đó k là số lẻ. Đặt \(d=\left(m^2+n^2;m^2-n^2-4\right)\Rightarrow d=\left(2m^2-4,2n^2+4\right)\)
\(\Leftrightarrow\) d | 2(m2 + n2) = 4(a2 + b2)
Mà \(\hept{\begin{cases}m^2+n^2=kd\\m^2-n^2-4=2d\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4=d\left(k+2\right)\Rightarrow\) d chia hết 2.
Lại có a2 + b2 là số lẻ nên d = 2 hoặc d = 4.
Thay vào hệ bên trên và giả thiết thì (a,b) = (-2;-1) hoặc (2;1). Khi đó k = 5 và nó là số nguyên tố.
TH2: Nếu cả a và b đều lẻ
\(\Rightarrow a=2k+1;b=2h+1\Rightarrow k=\frac{2\left(k^2+h^2+k+h\right)+1}{2kh+k+h}\) là số lẻ.
Tương tự như bên trên ta có d | 4(a2 + b2) = 8(2k2 + 2h2 + 2k + 2h + 1)
Và 2m2 - 4 = (k+2)d \(\Rightarrow d⋮2\Rightarrow d\in\left\{2;4;8\right\}\)
Thế vào hệ ta cũng tìm được (a;b) = (3;1) hoặc (-3;-10 và k = 5.
Vậy k luôn bằng 5 và nó là số nguyên tố.
B1 :
Áp dụng bđt cosi ta có : a^2/b+c + b+c/4 >= \(2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}\) = 2. a/2 = a
Tương tự b^2/c+a + c+a/4 >= b
c^2/a+b + a+b/4 >= c
=> VT + a+b+c/2 >= a+b+c
=> VT >= a+b+c/2 = VP
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
k mk nha
Đặt \(a-b=x;b-c=y;c-a=z\)
\(\Rightarrow x+y+z=a-b+b-c+c-a=0\)
Lúc đó: \(B=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Mà \(x+y+z=0\Rightarrow2\left(x+y+z\right)=0\Rightarrow\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow B=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}\)
\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{2}{xy}\)
\(=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)
Vì P là số nguyên tố, P là scp
=> Vô lý
Vậy không tìm được giá trị nào
Vì P là số nguyên tố, P là scp
=> Vô lý
Vậy không tìm được giá trị nào
Ta có:
Giả sử p là số nguyên tố. \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow pa^2+pb^2=a^2b^2\)'
Gọi: d=(a,b) khi đó: a=da';b=db' (với (a',b')=1).
Thay vào ta được:
\(pa'^2+pb'^2=d^2a'^2b'^2\). Từ đây suy ra: \(pa'^2\)sẽ chia hết cho \(b'^2\). Mà (a',b')=1 nên( a'2,b'2)=1 hay p chia hết cho b'^2 mà p là số nguyên tố nên: b'=1 tương tự thì a'=1 thay vào lại giả thiết ta được: \(\frac{2}{d^2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow2p=d^2\). Từ đây suy ra d2 chia hết cho 2 hay d chia hết cho 2 nên d2 chia hết cho 4 suy ra 2p chia hết cho 4 từ đây thì: p=2. Thử lại với a=b=2;p=2 thì vẫn thỏa mãn nên bạn kiểm tra lại đề.