Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VP=\frac{6}{\sqrt{\left(3a+bc\right)\left(3b+ca\right)\left(3c+ab\right)}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)a+bc\right]\left[\left(a+b+c\right)b+ca\right]\left[\left(a+b+c\right)c+ab\right]}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+1\right)^2}}=\frac{6}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)
\(VT=\frac{1}{3a+bc}+\frac{1}{3b+ca}+\frac{1}{3c+ab}\)
\(=\frac{1}{\left(a+b+c\right)a+bc}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)b+ac}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)c+ab}\)
\(=\frac{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=\frac{6}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)
Vậy VT = VP, đẳng thức được chứng minh
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{a+c-b}{b}=\frac{a+b-c+b+c-a+a+c-b}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{c+a+b}=1\)
Do đó: \(\frac{a+b-c}{c}=1\)\(\Rightarrow a+b-c=c\)\(\Rightarrow a+b+c=3c\) (1)
\(\frac{b+c-a}{a}=1\)\(\Rightarrow b+c-a=a\)\(\Rightarrow b+c+a=3a\) (2)
\(\frac{a+c-b}{b}=1\)\(\Rightarrow a+c-b=b\)\(\Rightarrow a+c+b=3b\) (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow3a=3b=3c\)\(\Rightarrow a=b=c\)
Ta có: \(T=\left(10+\frac{b}{a}\right)\left(4+\frac{2c}{b}\right)\left(2017+\frac{3a}{c}\right)\)
\(=\left(10+\frac{a}{a}\right)\left(4+\frac{2c}{c}\right)\left(2017+\frac{3a}{a}\right)\)
\(=\left(10+1\right)\left(4+2\right)\left(2017+3\right)\)
\(=11.6.2020=133320\)
p/s: làm thế này đúng không ta, mình hong chắc lắm
Đặt \(\hept{1\begin{cases}ab=x\\bc=y\\ca=z\end{cases}}\)thì ta có
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xyz-3xy\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy+xz-yz\right)-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=0\)
Ta có: x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz = 0
Đây là bất đẳng thức quen thuộc nên mình không chứng minh nhé.
Dấu = xảy ra khi x = y = z hay a = b = c
=> E = 2.2.2 = 8
Còn: x + y + z = 0 thì bạn nghĩ tiếp nhé
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} 3a+b-c=x\\ 3b+c-a=y\\ 3c+a-b=z\end{matrix}\right.\)
Khi đó, điều kiện đb tương đương với:
\((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\Leftrightarrow 3(x+y)(y+z)(x+z)=24\)
\(\Leftrightarrow 3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24\)
\(\Leftrightarrow (a+2b)(b+2c)(c+2a)=1\)
Do đó ta có đpcm.
Lời giải:
Vì : \(\left(3a+6\right)^2\ge0\) với mọi a
\(\left|\frac{1}{4}b-10\right|\ge0\)với mọi b
\(\left|c+3a\right|\ge0\)với mọi a; c
=> \(\left(3a+6\right)^2+\left|\frac{1}{4}b-10\right|+\left|c+3a\right|\ge0\)với mọi a; b ; c
=> \(\left(3a+6\right)^2+\left|\frac{1}{4}b-10\right|+\left|c+3a\right|=0\)
<=> \(\hept{\begin{cases}\left(3a+6\right)^2=0\\\left|\frac{1}{4}b-10\right|=0\\\left|c+3a\right|=0\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}3a+6=0\\\frac{1}{4}b-10=0\\c+3a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-2\\b=40\\c=6\end{cases}}\)
Kết luận: Vậy a = -2 ; b= 40 ; c= 6.
Vì \(\left(3a+6\right)^2\ge0,\forall a\)
\(\left|\frac{1}{4}b-10\right|\ge0,\forall b\)
\(\left|c+3a\right|\ge0,\forall c\)
\(\Rightarrow\left(3a+6\right)^2+\left|\frac{1}{4}b-10\right|+\left|c+3a\right|\ge0,\forall a,b,c\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
\(\Rightarrow\left(3a+6\right)^2+\left|\frac{1}{4}b-10\right|+\left|c+3a\right|=0\)
\(\hept{\begin{cases}\left(3a+6\right)^2=0\\\left|\frac{1}{4}b-10\right|=0\\\left|c+3a\right|=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-2\\b=40\\c=6\end{cases}}}\)
\(\text{Vậy }\hept{\begin{cases}a=-2\\b=40\\c=6\end{cases}}\)