K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

15 tháng 6 2023

Đặt \(gcd\left(a,b\right)=d\) và \(lcm\left(a,b\right)=m\) \(\left(d,m\inℕ^∗\right)\). Điều kiện đã cho tương đương \(d+m+a+b=ab\) \(\Leftrightarrow\dfrac{d}{ab}+\dfrac{m}{ab}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1\)   (1)

 Ta lại có \(dm=ab\) (mình sẽ chứng minh cái này sau) nên từ (1) ta có \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1\)     (2).

Do \(d\le b\le a\le m\) nên \(\dfrac{1}{m}\le\dfrac{1}{a}\le\dfrac{1}{b}\le\dfrac{1}{d}\). Kết hợp với (2), ta được \(1=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{d}\le\dfrac{4}{d}\) \(\Leftrightarrow d\le4\) hay \(d\in\left\{1,2,3,4\right\}\).

 Nếu \(d=1\) thì ta có \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=0\), vô lí.

 Nếu \(d=2\) thì ta có \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2}\), khi đó \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\le\dfrac{3}{b}\) nên \(b\le6\) hay \(b\in\left\{1,2,3,4,5;6\right\}\). Dĩ nhiên \(b\) không thể là số lẻ do \(d=2\) là ước của b. Vậy thì \(b\in\left\{2,4,6\right\}\). Nếu \(b=2\) thì \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}=0\), vô lí. Nếu \(b=4\) thì \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{4}\le\dfrac{2}{a}\Leftrightarrow a\le8\) hay \(a\in\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}\). Do a cũng là số chẵn nên \(a\in\left\{2,4,6,8\right\}\), mà \(a\ge b\) nên suy ra \(b\in\left\{4,6,8\right\}\). Có \(b=4\) và \(b=6\) thỏa mãn. Nếu \(b=8\) thì \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{3}{8}\le\dfrac{2}{a}\Leftrightarrow a\le\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow a\le5\), mà \(a\ge b\) nên vô lí

 Nếu \(d=3\) thì \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{3}\le\dfrac{3}{b}\) \(\Leftrightarrow b\le\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow b\le4\) hay \(b\in\left\{1,2,3,4\right\}\). Mà \(b⋮3\) nên \(b=3\). Khi đó \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{3}\le\dfrac{2}{a}\Leftrightarrow a\le6\) Nhưng vì \(a⋮3\) nên \(a\in\left\{3,6\right\}\). Nếu \(a=3\) thì thử lại không thỏa mãn. Nếu \(a=6\) thì thỏa mãn.

 Nếu \(d=4\) thì \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{3}{4}\le\dfrac{3}{b}\) hay \(b\le4\). Mà \(b⋮4\) nên \(b=4\), từ đó suy ra \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2}\le\dfrac{2}{a}\Leftrightarrow a\le4\), vì \(a⋮4\)  nên \(a=4\).

 Vậy ta tìm được các cặp số (4;4); (4;6); (6;3) thỏa ycbt.

 (*) Như mình đã hứa, mình sẽ chứng minh \(gcd\left(a,b\right).lcm\left(a,b\right)=ab\):

 Ta biết rằng 1 số tự nhiên N khác 0 bất kì có thể viết được dưới dạng \(N=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n}\) với \(p_i\left(i=\overline{1,n}\right)\) là các số nguyên tố đôi một phân biệt còn \(a_i\left(i=\overline{1,n}\right)\) là các số tự nhiên. 

 Trở lại bài toán, ta đặt \(a=p_1^{m_1}.p_2^{m_2}...p_k^{m_k}\) và \(b=p_1^{n_1}.p_2^{n_2}...p_k^{n_k}\). Khi đó, rõ ràng \(gcd\left(a,b\right)=p_1^{min\left\{m_1,n_1\right\}}.p_2^{min\left\{m_2,n_2\right\}}...p_k^{min\left\{m_k,n_k\right\}}\) và \(lcm\left(a,b\right)=p_1^{max\left\{m_1,n_1\right\}}.p_2^{max\left\{m_2,n_2\right\}}...p_k^{max\left\{m_k,n_k\right\}}\). Do đó \(gcd\left(a,b\right).lcm\left(a,b\right)=\prod\limits^k_{i=1}p_i^{min\left\{m_i,n_i\right\}+max\left\{m_i,n_i\right\}}=\prod\limits^k_{i=1}p_i^{m_i+n_i}=ab\) (kí hiệu \(\prod\limits^k_{i=1}A_i=A_1A_2...A_k\)

, ta có đpcm

15 tháng 6 2023

giúp mik 

 

Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.Câu 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|Câu 9.a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4ab) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức:a)...
Đọc tiếp

Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.

Câu 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.

Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|

Câu 9.

a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

Câu 11. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) |2x – 3| = |1 – x|

b) x2 – 4x ≤ 5

c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

Câu 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

Câu 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

1
31 tháng 10 2021

\(5,M=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\\ M=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]\\ M=1\left(1-3ab\right)=1-3ab\ge1-\dfrac{3\left(a+b\right)^2}{4}=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\\ M_{min}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

 

4 tháng 11 2021

Câu 5:

\(a+b=1\Rightarrow a=1-b\)

\(M=a^3+b^3=\left(1-b\right)^3+b^3=1-3b+3b^2-b^3+b^3\)

\(=1-3b+3b^2=3\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}=3\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\)

\(minM=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

4 tháng 11 2021

Câu 7:

\(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc-ab\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng do a,b dương)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

8 tháng 4 2022

giúp mình vs

NV
8 tháng 4 2022

5.

Với mọi a;b ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{2}\)

\(M=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)=a^2+b^2-ab\)

\(M=\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)-\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)

\(M_{min}=\dfrac{1}{4}\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

6.

Do \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=2>0\)

Mà \(a^2-ab+b^2>0\Rightarrow a+b>0\)

Mặt khác với mọi a;b ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\) \(\Rightarrow-ab\ge-\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

Từ đó:

\(2=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^3-3.\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\left(a+b\right)=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^3\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3\le8\Rightarrow a+b\le2\)

\(N_{max}=2\) khi \(a=b=1\)