Question

[lê hoàng quốc bình]

tìm ab biết a^2+b^2=32 và a+2ab+b=40

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=32\\a+b+2ab=40\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2+2ab+a+b=72\\a+b+2ab=40\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)-72=0\\a+b+2ab=40\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}a+b=8\\a+b=-9\end{matrix}\right.\\a+b+2ab=40\end{matrix}\right.\)

TH1: \(a+b=8\Rightarrow ab=16\)

\(\Rightarrow a\left(8-a\right)=16\Leftrightarrow a^2-8a+16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-4\right)^2=0\Rightarrow a=4\Rightarrow b=4\) 

TH2: \(a+b=-9\Rightarrow ab=\dfrac{49}{2}\)

\(\Rightarrow a\left(-9-a\right)=\dfrac{49}{2}\) \(\Leftrightarrow2a^2+18a+49=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+\dfrac{9}{2}\right)^2+\dfrac{17}{2}=0\) (ko tồn tại a thỏa mãn)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=4\end{matrix}\right.\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Cách 2:

Với mọi số thực a; b ta luôn có:

\(\left(a-4\right)^2+8\left(a-b\right)^2+\left(b-4\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-8a+16+8\left(a^2-2ab+b^2\right)+b^2-8a+16\ge0\)

\(\Leftrightarrow9\left(a^2+b^2\right)\ge8\left(a+b+2ab\right)-32\)

\(\Leftrightarrow9\left(a^2+b^2\right)\ge288\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge32\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=4\)