![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2018x-y^2=2018y-z^2\\2018y-z^2=2018z-x^2\\2018z-x^2=2018x-y^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2018\left(x-y\right)=\left(y-z\right)\left(y+z\right)\left(1\right)\\2018\left(y-z\right)=\left(z-x\right)\left(z+x\right)\left(2\right)\\2018\left(z-x\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1).(2).(3) ta được
\(2018^3.\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Tới đây e làm nốt nhé
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(M=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{49}{16}\)
\(M_{min}=\dfrac{49}{16}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}};\dfrac{2}{\sqrt{14}};\dfrac{2}{\sqrt{7}}\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(M=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{7}{4}\)
\(M_{min}=\dfrac{7}{4}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{\sqrt{2}};1\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Sửa đề: \(P=x^{2008}+y^{2009}+z^{2010}\)
Ta có: x+y+z=1
nên \(\left(x+y+z\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+1=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
mà 3>0
nên \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\x+z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Thay x=-y vào biểu thức \(x+y+z=1\), ta được:
\(-y+y+z=1\)
hay z=1
Thay x=-y và z=1 vào biểu thức \(x^2+y^2+z^2=1\), ta được:
\(\left(-y\right)^2+y^2+1=1\)
\(\Leftrightarrow y^2+y^2=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2=0\)
hay y=0
Vì x=-y
và y=0
nên x=0
Thay x=0; y=0 và z=1 vào biểu thức \(P=x^{2008}+y^{2009}+z^{2010}\), ta được:
\(P=0^{2008}+0^{2009}+1^{2010}=1\)
Vậy: P=1
nma ở trên cm y=-z mà. Nếu ở thay y=0 và z=1 vào thì nghĩa là 0 = -1 hả
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
$x^5+y^5+z^5=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-[x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)]$
Mà:
$x^3+y^3+z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3$
$=(-z)^3-3xy(-z)+z^3=3xyz$
Và:
\(x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)\)
\(=x^2y^2(x+y)+y^2z^2(y+z)+z^2x^2(z+x)=-x^2y^2z-y^2z^2x-x^2y^2z\)
\(=-xyz(xy+yz+xz)=-xyz[\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}]=\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
Do đó: \(x^5+y^5+z^5=3xyz(x^2+y^2+z^2)-\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{5xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
\(\Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)\)
Ta có đpcm.