![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(I=\int\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{sin^2x.cosx+2sin2x}{\left(f\left(sinx\right)\right)^2}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{\left(sin^2x+4sinx\right).cosx}{\left(f\left(sinx\right)\right)^2}dx\)
Đặt \(sinx=t\Rightarrow cosx.dx=dt;\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}\Rightarrow t=\frac{1}{2}\\x=\frac{\pi}{3}\Rightarrow t=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_{\frac{1}{2}}\frac{\left(t^2+4t\right)}{f^2\left(t\right)}dt=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_{\frac{1}{2}}\frac{\left(x^2+4x\right)}{f^2\left(x\right)}dx\)
Lại có:
\(x+x.f'\left(x\right)=2f\left(x\right)-4\Leftrightarrow x+4=2f\left(x\right)-x.f'\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x=2x.f\left(x\right)-x^2.f'\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+4x}{f^2\left(x\right)}=\frac{2x.f\left(x\right)-x^2.f'\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=\left(\frac{x^2}{f\left(x\right)}\right)'\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x^2}{f\left(x\right)}\right)'dx=\frac{x^2}{f\left(x\right)}|^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_{\frac{1}{2}}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{f\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{3}{4b}-\frac{1}{4a}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(f\left(x\right)=e^{sinx}-sinx-1\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=cosx.e^{sinx}-cosx=cosx\left(e^{sinx}-1\right)\)
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\sinx=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{\pi}{2}\\x=\pi\end{matrix}\right.\)
\(f\left(0\right)=0\) ; \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=e-2\) ; \(f\left(\pi\right)=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=0\) ; \(f\left(x\right)_{max}=e-2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-sinx=0\\x-m-3=0\\x-\sqrt{9-m^2}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=m+3\\x=\sqrt{9-m^2}\end{matrix}\right.\)
Do hệ số bậc cao nhất của x dương nên:
- Nếu \(m=-3\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có nghiệm bội 3 \(x=0\) \(\Rightarrow x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)
- Nếu \(m=3\Rightarrow x=0\) là nghiệm bội chẵn (không phải cực trị, ktm)
- Nếu \(m=0\Rightarrow x=3\) là nghiệm bội chẵn và \(x=0\) là nghiệm bội lẻ, đồng thời \(x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)
- Nếu \(m\ne0;\pm3\) , từ ĐKXĐ của m \(\Rightarrow-3< m< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+3>0\\\sqrt{9-m^2}>0\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm pb trong đó \(x=0\) là nghiệm nhỏ nhất
Từ BBT ta thấy \(x=0\) là cực tiểu
Vậy \(-3\le m< 3\)
cho em hỏi là tại sao m≠0 mà đkxđ của m lại là -3<m<3 ạ ?
Tính chất hàm đặc trưng
Nếu \(f\left(x\right)\) đơn điệu thì \(f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Leftrightarrow x_1=x_2\)
Ở đây \(f\left(t\right)=e^t+t\) đơn điệu nên \(f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)
Trong đó \(\left\{{}\begin{matrix}t_1=m.cosx-sinx\\t_2=2\left(1-sinx\right)\end{matrix}\right.\)