Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
với n=1 ta có VT =1, VP =1 nên (2) đúng với n=1.
Giả sử (2) đúng với n=k, tức là.
1+3+5+⋯+(2k−1)=k2,k∈N∗.
Ta chứng minh (2) đúng với n=k+1, tức là chứng minh
1+3+5+⋯+(2k−1)+(2k+1)=(k+1)2
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có
1+3+5+⋯+(2k−1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2
Vậy (2) đúng với mọi số nguyên dương n.
Lời giải:
$n^3+3n^2+5n=n(n^2+3n+5)$
Cho $n=1$ thì $n^3+3n^2+5n=9\vdots 3$
Cho $n=2$ thì $n^3+3n^2+5n=30\vdots 3$....
Giả sử điều trên đúng với $n=k$. Tức là $k^3+3k^2+5k\vdots 3$
Ta cần cm đúng với $n=k+1$, tức là $(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)\vdots 3$
Thật vậy:
$(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+5k+5+3(k+1)^2$
$=(k^3+3k^2+5k)+3(k+2)+3(k+1)^2\vdots 3$ do $k^3+3k^2+5k\vdots 3; 3(k+2)\vdots 3; 3(k+1)^2\vdots 3$
Vậy ta có đpcm.
phương pháp quy nạp toán học
4^n +15n-1 (1)
với n =0 thì 40+15.0−1=0 chia hết 9
tương tự ta đc n=1 => (1)= 18 chia hết 9
............
giả sử (1) đúng với n =k
hay 4k+15k−1 chia hết 9
--- CM bài toán cũng đúng với n=k+1
xét 4k+1+15(k+1)−1
=4.4k+4.15k−4−3.15k+18
=4(4k+15k−1)−9(5k+2)
do 4k+15k−1 chia hết 9 và 9(5k+2) chia hết cho 9
=> 4(4k+15k−1)−9(5k+2) chia hết 9
=> cm đc với n=k+1
vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n.
phương pháp quy nạp toán học
4^n +15n-1 (1)
với n =0 thì 40+15.0−1=0 chia hết 9
tương tự ta đc n=1 => (1)= 18 chia hết 9
............
giả sử (1) đúng với n =k
hay 4k+15k−1 chia hết 9
--- CM bài toán cũng đúng với n=k+1
xét 4k+1+15(k+1)−1
=4.4k+4.15k−4−3.15k+18
=4(4k+15k−1)−9(5k+2)
do 4k+15k−1 chia hết 9 và 9(5k+2) chia hết cho 9
=> 4(4k+15k−1)−9(5k+2) chia hết 9
=> cm đc với n=k+1
vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n.
Đặt \(A=6^{2n+1}+5^{n+2}\)
Với n=0
=>\(A\left(0\right)=6^{2.0+1}+5^{0+2}=6+5^2=31\) chia hết cho 31
Giả sử n=k thì A sẽ chia hết cho 31
=>\(A\left(k\right)=6^{2k+1}+5^{k+2}\) chia hết cho 31
Chứng minh n=k+1 cũng chia hết cho 31 hay \(A\left(k+1\right)=6^{2\left(k+1\right)+1}+5^{\left(k+1\right)+2}\) chia hết cho 31
thật vậy
\(A\left(k+1\right)=6^{2k+3}+5^{k+3}=6^{2k+1}.36+5^{k+2}.5\)
\(=5\left(6^{2k+1}+5^{k+2}\right)+3.6^{2k+1}\)
Theo giả thiết ta có
\(6^{2k+1}+5^{k+2}\) chia hết cho 31
=>\(5\left(6^{2k+1}+5^{k+2}\right)\) chia hết cho 31
mà\(31.6^{2k+1}\) chia hết cho 31
=>\(5\left(6^{2k+1}+5^{k+2}\right)+31.6^{2k+1}\) chia hết cho 31
Hay \(A\left(k+1\right)\) chia hết cho 31
Vậy \(^{6^{2n+1}+5^{n+2}}\) chia hết cho 31
Kí hiệu đăng thức cần chứng minh là (*)
+) Với n = 1 thì 1 = \(\frac{1.\left(1+1\right)}{2}\) => (*) đúng
+) Giả sử (*) đúng với n = k , tức là: 1 + 2 + 3 + ....+ k = \(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)
Ta chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, tức là: 1 + 2 + 3+ ...+ k + (k+1) = \(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)
Thật vậy, 1 + 2 + 3 + ....+ k + (k+1) = \(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\) + (k+1) = \(\frac{k\left(k+1\right)+2\left(k+1\right)}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)
=> (*) đúng với n = k+ 1
Vậy.....
1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1) + (n - 1 + 2) + ... (n:2 cặp)
= (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) (n:2 cặp)
= (n + 1).n : 2 (đpcm)
Quy nạp hay lập luận quy nạp, đôi khi còn được gọi là logic quy nạp, là quá trình lập luận mà trong đó tiên đề của lý lẽ được cho là chứng minh cho kết luận nhưng không đảm bảo nó. Kiểu lập luận này được dùng để gán tính chất hay quan hệ cho một phạm trù dựa trên các ví dụ của phạm trù đó; hoặc để phát triển định luật dựa trên một số giới hạn các quan sát của các hiện tượng lặp đi lặp lại. Quy nạp được ứng dụng trong việc dùng các mệnh đề như:
Nước đá thì lạnh.
Một trái banh bi-da di chuyển khi bị đánh bởi cây cơ.
...để suy ra những mệnh đề tổng quát như:
Tất cả nước đá đều lạnh.
Tất cả banh bi-da bị đánh bởi cây cơ đều di chuyển.
Phương phấp quy nạp là phương pháp quy nạp