Question

[Minh Nguyen]

n^12-n^8-n^4+1 chia hết cho 512 ( n thuộc Z)

ai làm nhanh minh tick nhé (gấp rồi)

Answer 1

[Dogeee]

a) Ta có: A =n^12-n^8-n^4+1
=(n^8-1)(n^4-1)=(n^4+1)(n^4-1)^2
=(n^4+1)[(n^2+1)(n^2-1)]^2
=(n-1)^2*(n+1)^2*(n^2+1)^2*(n^4+1)
Ta có n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp nên có 1 số chỉ chia hết cho 2 ,1 số chia hết cho 4 nên (n-1)(n+1) chia hết cho 8 => (n-1)^2*(n+1)^2 chia hết cho 64
Mặt khác n lẻ nên n^2+1,n^4+1 cũng là số chẵn nên (n^2+1)^2*(n^4+1) chia hết cho 2^3=8
Do đó : A chia hết cho 64*8=512

Answer 2

[Xyz OLM]

Đặt A = n¹² - n⁸ - n⁴ + 1 

= n⁸(n⁴ - 1) - (n⁴ - 1) 

= (n⁸ - 1)(n⁴ - 1) 

= (n -  1)(n + 1)(n² + 1)(n⁴ + 1)(n - 1)(n + 1)(n² + 1) 

= [(n - 1)(n + 1)(n² + 1)]² [(n - 1)(n + 1)(n² + 1) + 2] 

Nếu n chắn 

=> n + 1 lẻ => Với n chẵn A không chia hết cho 512

Nếu n lẻ

Đặt n = 2k + 1

=> A = [(2k + 1 - 1)(2k + 1 + 1)(4k² + 4k + 2)]² [(2k + 1 - 1)(2k + 1 + 1)(4k² + 4k + 2)  +2] 

 = [2k.2(k + 1).2(2k² + 2k + 1)]² . [2k.2(k  +1).2(2k² + 2k + 1) + 2]

= [8k(k + 1)(2k² + 2k + 1)]² . 2[k(k + 1)(2k² + 2k + 1) + 1]

Nhận thấy k(k + 1) \(⋮\)2

=> 8k(k + 1) \(⋮16\)

=> [8k(k + 1)(2k² + 2k + 1) \(⋮\) 16

=>  [8k(k + 1)(2k² + 2k + 1)]² \(⋮16^2=256\)

mà 2[k(k + 1)(2k² + 2k + 1) + 1] \(⋮\)2

=> [8k(k + 1)(2k² + 2k + 1)]² . 2[k(k + 1)(2k² + 2k + 1) + 1] \(⋮256.2=512\) => A \(⋮512\)khi n lẻ