K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

11 tháng 5 2021

( 1 số phần cơ bản sẽ làm tắt nha, cái đấy bạn sẽ tự trình bày rõ nhá, nhất là chứng minh tứ giác nội tiếp sẽ rút ngắn lại )

a)\(\widehat{ABO}=\widehat{AEO}=90^0\)

\(\Rightarrow ABEO\)nội tiếp

=> A,B,E,O thuộc 1 đường tròn

b) Xét tam giác AMC và tam giác ACN có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{NAC}chung\\\widehat{ACM}=\widehat{ANC}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta AMC~\Delta ACN\left(g-g\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AC}{AN}\)

\(\Rightarrow AC^2=AM.AN\)

c) \(\widehat{MJC}+\widehat{MFC}=180^0\)

\(\Rightarrow MJCF\)nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{MFJ}=\widehat{MCJ}\)

Mà \(\widehat{MCJ}=\widehat{MBC}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MFJ}=\widehat{MBC}\left(1\right)\)

CMTT \(\widehat{MFI}=\widehat{MCB}\left(2\right)\)

Xét tam giác MBC có: \(\widehat{CMB}+\widehat{MCB}+\widehat{MBC}=180^0\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{CMB}+\widehat{MFJ}+\widehat{MFI}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CMB}+\widehat{PFQ}=180^0\)

\(\Rightarrow MPFQ\)nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{MPQ}=\widehat{MFQ}\)mà \(\widehat{MFQ}=\widehat{MBC}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MPQ}=\widehat{MBC}\)mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow PQ//BC\)

d)  Xét tam giác MIF và tam giác MFJ có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{MIF}=\widehat{MFJ}\left(=\widehat{MBF}\right)\\\widehat{MJF}=\widehat{MFI}\left(=\widehat{MCF}\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta MIF~\Delta MFJ\left(g-g\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{MI}{MF}=\frac{MF}{MJ}\)

\(\Rightarrow MI.MJ=MF^2\)

MI.MJ lớn nhất \(\Leftrightarrow MF^2\)lớn nhất

Mà \(MF=\frac{1}{2}MN\)

\(\Rightarrow MF^2=\frac{1}{4}MN^2\)

\(\Rightarrow MF\)lớn nhất <=> MN lớn nhất \(\Leftrightarrow MN\)là đường kính (O)

\(\Leftrightarrow M\)là điểm chính giữa cung BC

Vậy MI.MJ lớn nhất <=> M là điểm chính giữa cung BC.

( KO hiểu thì hỏi mình nha )

25 tháng 4 2023

tại sao MF=1/2MN ?

 

6 tháng 5 2018

a. Vì \(CE\perp MA\)tại E (gt) => \(\widehat{AEC}=90^o\)

\(CD\perp AB\)tại D=> \(\widehat{ADC}=90^o\)

Xét tứ giác AECD có: \(\widehat{AEC}+\widehat{ADC}=90^o+90^o=180^o\)=> AECD là tứ giác nội tiếp đt \((G,R=\frac{AC}{2})\)trong đó G là trung điểm của AC (dhnb)

Cmtt ta có: BFCD là tứ giác nội tiếp đt \((H,R=\frac{BC}{2})\)trong đó H là trung điểm của BC

b. 

Vì AECD là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{EAC}=\widehat{EDC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{EC}\)) (1)

Do MA là tiếp tuyến của đt(O) (gt)=> \(\widehat{EAC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\)(t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Xét đt (O) có: \(\widehat{ABC}=\widehat{DBC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\)(t/c góc nội tiếp) => \(\widehat{EAC}=\widehat{DBC}\)(2)

vì BFCD là tứ giác nội tiếp => \(\widehat{DBC}=\widehat{DFC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{DC}\)) (3)

Từ (1),(2) và (3) => \(\widehat{EDC}=\widehat{DFC}\)

do AECD là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{CED}=\widehat{CAD}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{CD}\)) (4)

Vì MB là tiếp tuyến của đt (O) tại B (gt) => \(\widehat{CBF}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}\)(T/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Xét đt (O) có: \(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}\)(t/c góc nội tiếp) => \(\widehat{CBF}=\widehat{DAC}\)(5)

lại có: BFCD là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{CBF}=\widehat{CDF}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{CF}\)) (6)

Từ (4), (5) và (6) => \(\widehat{CED}=\widehat{CDF}\)

Xét \(\Delta ECD\)và \(\Delta DCF\)có:

\(\widehat{CED}=\widehat{CDF}\)(Cmt)

\(\widehat{EDC}=\widehat{DFC}\)(Cmt)

=> \(\Delta ECD~\Delta DCF\)(g.g) => \(\frac{EC}{DC}=\frac{CD}{CF}\Rightarrow CD^2=CE\times CF\)(Đpcm)

c. Vì I là giao điểm của AC và DE (gt) => \(I\in AC\)

K là giao điểm của BC và DF (gt) => \(K\in BC\)

=> \(\widehat{ICK}=\widehat{ACB}\)

Vì \(\widehat{EDC}=\widehat{ABC}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{IDC}=\widehat{ABC}\left(do\overline{E,I,D}\Rightarrow\widehat{EDC}=\widehat{IDC}\right)\)

\(\widehat{CDF}=\widehat{BAC}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{CDK}=\widehat{BAC}\left(do\overline{F,K,D}\Rightarrow\widehat{CDF}=\widehat{CDK}\right)\)

Xét tứ giác ICKD có : \(\widehat{ICK}+\widehat{IDK}=\widehat{ICK}+\widehat{IDC}+\widehat{CDK}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180^o\)

(Áp dụng định lý tổng 3 góc trong \(\Delta ABC\)ta có: \(\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180^o\))

=> Tứ giác ICKD là tứ giác nội tiếp (dhnb) => 4 điểm I,C,K,D cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)

d. Vì ICKD là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{CIK}=\widehat{CDK}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{CK}\))

Lại có: \(\widehat{CDK}=\widehat{BAC}\)(Cmt)  => \(\widehat{CIK}=\widehat{BAC}\)mà 2 góc này ở vị tri đồng vị => IK // AB (Dhnb)

Do \(CD\perp AB\left(gt\right)\)=> \(IK\perp CD\)(Quan hệ tính vuông góc và tính song song của 3 đt)

10 tháng 2 2019

Bạn cho mình hỏi ở phần nào đk ?