Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
Gọi \(A\left(1;-1\right)\) và \(B\left(2;3\right)\Rightarrow\) tập hợp \(z\) thoả mãn điều kiện đề bài là đường trung trực d của đoạn AB, ta dễ dàng viết được phương trình d có dạng \(4x-y-5=0\)
Gọi \(M\left(-2;-1\right)\) và \(N\left(3;-2\right)\) và \(I\left(a;b\right)\) là điểm bất kì biểu diễn \(z\Rightarrow I\in d\) \(\Rightarrow P=IM+IN\). Bài toán trở thành dạng cực trị hình học phẳng quen thuộc: cho đường thẳng d và 2 điểm M, N cố định, tìm I thuộc d để \(P=IM+IN\) đạt GTNN
Thay toạ độ M, N vào pt d ta được 2 giá trị trái dấu \(\Rightarrow M;N\) nằm về 2 phía so với d
Gọi \(C\) là điểm đối xứng M qua d \(\Rightarrow IM+IN=IC+IN\), mà \(IC+IN\ge CN\Rightarrow P_{min}=CN\) khi I, C, N thẳng hàng
Phương trình đường thẳng d' qua M và vuông góc d có dạng:
\(1\left(x+2\right)+4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+4y+6=0\)
Gọi D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4y+6=0\\4x-y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{14}{17};-\frac{29}{17}\right)\)
\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left(-2;-1\right)\Rightarrow P_{min}=CN=\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(-2+1\right)^2}=\sqrt{26}\)
Bài 2:
Tập hợp \(z\) là các điểm M thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\) có phương trình \(x^2+\left(y-1\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\left|z\right|=OM\Rightarrow\left|z\right|_{max}\) khi và chỉ khi \(M;I;O\) thẳng hàng và M, O nằm về hai phía so với I
\(\Rightarrow M\) là giao điểm của (C) với Oy \(\Rightarrow M\left(0;1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phần ảo của z là \(b=1+\sqrt{2}\)
Câu 3:
\(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)=5+\sqrt{2}i\)
\(\Rightarrow z=5-\sqrt{2}i\Rightarrow b=-\sqrt{2}\)
Câu 4
\(z.z'=\left(m+3i\right)\left(2-\left(m+1\right)i\right)=2m-\left(m^2+m\right)i+6i+3m+3\)
\(=5m+3-\left(m^2+m-6\right)i\)
Để \(z.z'\) là số thực \(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)
Câu 5:
\(A\left(-4;0\right);B\left(0;4\right);M\left(x;3\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;4\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(x+4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A,B,M\) khi và chỉ khi \(\frac{x+4}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=-1\)
Câu 6:
\(z=3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)=-1+12i\)
\(\Rightarrow b=12\)
Câu 7:
\(w=\left(1-i\right)^2z\)
Lấy môđun 2 vế:
\(\left|w\right|=\left|\left(1-i\right)^2\right|.\left|z\right|=2m\)
Câu 8:
\(3=\left|z-1+3i\right|=\left|z-1-i+4i\right|\ge\left|\left|z-1-i\right|-\left|4i\right|\right|=\left|\left|z-1-i\right|-4\right|\)
\(\Rightarrow\left|z-1-i\right|\ge-3+4=1\)
\(M\left(1;1\right)\) ; \(N\left(2;3\right)\)
Gọi \(w=x+yi\Rightarrow Q\left(x;y\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MN}=\left(1;2\right)\\\overrightarrow{MQ}=\left(x-1;y-1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MN}+3\overrightarrow{MQ}=\left(3x-2;3y-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow w=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}i\)
7.
\(\left(1+i\right)z=3z-i\Leftrightarrow\left(1+i-3\right)z=-i\)
\(\Leftrightarrow\left(i-2\right)z=-i\Rightarrow z=\frac{-i}{i-2}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)
Phần ảo là \(\frac{2}{5}\)
8.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-1=2-x\\1-2y=3y+2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-\frac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
9.
\(\left|x-yi+2-i\right|=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=16\)
Đường tròn tâm \(I\left(-2;-1\right)\) bán kính \(R=4\)
10.
Mặt cầu tâm \(I\left(1;2;2\right)\)
Khoảng cách: \(d\left(I;\alpha\right)=\frac{\left|1+2.2-2.2-4\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}=1\)
4.
Giao điểm d và (P) thỏa mãn:
\(1-t+2.2t-2\left(1+t\right)+2=0\Rightarrow t=-1\)
Thay vào pt d ta được tọa độ: \(\left(2;-2;0\right)\)
5.
Theo quy tắc nhân ta có \(3.4=12\) cách
6.
\(z=x+yi\Rightarrow5\left(x-yi\right)-\left(x+yi\right)\left(2-i\right)=2-6i\)
\(\Leftrightarrow3x-y-\left(7y-x\right)i=2-6i\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2\\-x+7y=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow z=1+i\Rightarrow\left|z\right|=2\)
a/\(\left(1+i\right)z=\frac{1}{z}\Leftrightarrow z^2\left(1+i\right)=1\Rightarrow z^2=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\)
\(\Rightarrow\) Phần ảo là \(-\frac{1}{2}\)
b/\(\frac{1}{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\Rightarrow z=\frac{2}{1+i}\Rightarrow z=1-i\)
Phần ảo là -1
c/ Áp dụng công thức tổng CSN với \(u_1=i\) ; \(q=i\); \(n=100\)
\(i+i^2+...+i^{100}=i.\frac{i^{101}-1}{i-1}=\frac{i^{102}-i}{i-1}=\frac{\left(i^2\right)^{51}-i}{i-1}=\frac{-1-i}{i-1}=i\)
d/ Tương tự câu trên:
\(1+\left(1+i\right)+...+\left(1+i\right)^{20}=1+\left(1+i\right).\frac{\left(1+i\right)^{21}-1}{1+i-1}=-2048+i\)