K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
1
23 tháng 1 2016
Thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Biến đổi :
\(a_1\sin x+b_1\cos x=A\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)+B\left(a_2\cos x-b_2\sin x\right)\)
Bước 2 : Khi đó :
\(I=\int\frac{A\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)+B\left(a_2\cos x-b_2\sin x\right)}{\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)^2}dx=A\int\frac{dx}{a_2\cos x+b_2\sin x}+B\int\frac{\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)dx}{\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)^2}\)
\(=\frac{A}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\int\frac{dx}{\sin\left(x+\alpha\right)}-B\int\frac{1}{a_2\sin x+b_2\cos x}dx=\frac{A}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\ln\left|\tan\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\right|-\frac{B}{a_2\cos x+b_2\sin x}+C\)
Trong đó : \(\sin\alpha=\frac{b_2}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}_{ }};\cos\alpha=\frac{a_2}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2016
a)\(\int \sin ^2\left (\frac{x}{2}\right)dx=\int \frac{1-\cos x }{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin x}{2}+c\)
b)\(\int \cos ^2 \left (\frac{x}{2}\right)dx=\int \frac{1+\cos x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin x}{2}+c\)
c) \(\int \frac{(2x+1)dx}{x^2+x+5}=\int \frac{d(x^2+x+5)}{x^2+x+5}=ln(x^2+x+5)+c\)
d)\(\int (2\tan x+ \cot x)^2dx=4\int \tan ^2 x+\int \cot^2 x+4\int dx=4\int \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}dx+\int \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}dx+4\int dx \)\( =4\int d(\tan x)-\int d(\cot x)-\int dx=4\tan x-\cot x-x+c\)
NH
1
11 tháng 4 2016
\(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sin x}{\cos2x+3\cos x+2}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sin x}{2\cos^2x+3\cos x+1}dx\)
Đặt \(\cos x=t\Rightarrow dt=-\sin dx\)
Với \(x=0\Rightarrow t=1\)
Với \(x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0\)
\(I=\int\limits^1_0\frac{dt}{2t^2+3t+1}=\int\limits^1_0\frac{dt}{\left(2t+1\right)\left(t+1\right)}=2\int\limits^1_0\left(\frac{1}{2t+1}+\frac{1}{2t+1}\right)dt\)
\(=\left(\ln\frac{2t+1}{2t+1}\right)|^1_0=\ln\frac{3}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 2 2018
Lời giải:
Ta có:
\(A=\int \frac{x\sin x+\cos x}{x^2-\cos ^2x}dx=\int \frac{(\cos x-x)+x(\sin x+1)}{x^2-\cos ^2x}dx\)
\(=-\int \frac{dx}{\cos x+x}+\int \frac{x(\sin x+1)}{x^2-\cos ^2x}dx=-\int \frac{dx}{x+\cos x}+\frac{1}{2}\int (\sin x+1)\left(\frac{1}{x-\cos x}+\frac{1}{x+\cos x}\right)dx\)
\(=-\int \frac{dx}{x+\cos x}+\frac{1}{2}\int (\sin x+1)\frac{dx}{x-\cos x}+\frac{1}{2}\int (\sin x-1)\frac{dx}{x+\cos x}+\int \frac{dx}{x+\cos x}\)
\(=\frac{1}{2}\int (\sin x+1)\frac{dx}{x-\cos x}+\frac{1}{2}\int (\sin x-1)\frac{dx}{x+\cos x}\)
\(=\frac{1}{2}\int \frac{d(x-\cos x)}{x-\cos x}+\frac{1}{2}\int \frac{-d(x+\cos x)}{x+\cos x}\)
\(=\frac{1}{2}\ln |x-\cos x|-\frac{1}{2}\ln |x+\cos x|+c\)
Xét biểu thức $B$
\(B=\int \frac{\ln x-1}{x^2-\ln ^2x}dx=\int \frac{(\ln x-x)+(x-1)}{x^2-\ln ^2x}dx\)
\(=-\int \frac{dx}{x+\ln x}+\int \frac{x-1}{x^2-\ln ^2x}dx=-\int \frac{dx}{x+\ln x}+\frac{1}{2}\int \frac{(x-1)}{x}\left(\frac{1}{x-\ln x}+\frac{1}{x+\ln x}\right)dx\)
\(=-\int \frac{dx}{x+\ln x}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-\ln x}.\frac{x-1}{x}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+\ln x}.\frac{x-1}{x}dx\)
\(=-\int \frac{dx}{x+\ln x}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-\ln x}.\frac{x-1}{x}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+\ln x}.\frac{1+x}{x}dx+\int \frac{dx}{x+\ln x}\)
\(=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-\ln x}.\frac{x-1}{x}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+\ln x}.\frac{1+x}{x}dx\)
\(=\frac{1}{2}\int \frac{d(x-\ln x)}{x-\ln x}-\frac{1}{2}\int \frac{d(x+\ln x)}{x+\ln x}\)
\(=\frac{1}{2}\ln |x-\ln x|-\frac{1}{2}\ln |x+\ln x|+c\)
25 tháng 12 2016
1) Đặt \(t=1+\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x=\left(t-1\right)^2+1\forall t\ge1\Rightarrow dx=d\left(t-1\right)^2=2dt\)
\(\Rightarrow I_1=\int\frac{\left(t-1\right)^2+1}{t}\cdot2dt=2\int\frac{t^2-2t+2}{t}dt=2\int\left(t-2+\frac{2}{t}\right)dt\\ =t^2-4t+4lnt+C\)
Thay x vào ta có...
25 tháng 12 2016
2) \(I_2=\int\frac{2sinx\cdot cosx}{cos^3x-\left(1-cos^2x\right)-1}dx=\int\frac{-2cosx\cdot d\left(cosx\right)}{cos^3x+cos^2x-2}=\int\frac{-2t\cdot dt}{t^3+t-2}\)
\(I_2=\int\frac{-2t}{\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)}dt=-\frac{2}{5}\int\frac{dt}{t-1}+\frac{1}{5}\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt-\frac{6}{5}\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}\)
Ta có:
\(\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt=\int\frac{d\left(t^2+2t+2\right)}{t^2+2t+2}=ln\left(t^2+2t+2\right)+C\)
\(\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}=\int\frac{\frac{1}{cos^2m}}{tan^2m+1}dm=\int dm=m+C=arctan\left(t+1\right)+C\)
Thay x vào, ta có....
ML
2
HT
23 tháng 1 2016
Đặt \(t=\tan\frac{x}{2}\rightarrow dx=\frac{2dt}{1+t^2}\)
Khi đó : \(I=\int\frac{4\frac{dt}{1+t^2}}{\frac{4}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}+1}=\int\frac{2dt}{1+2t^2}=\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+2}\right)dt=\ln\left|\frac{1}{t+2}\right|+C=\ln\left|\frac{\tan\frac{x}{2}}{\tan\frac{x}{2}+2}\right|+C\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 12 2017
1)
Ta có \(P_1=\int \frac{\cos xdx}{2\sin x-7}=\int \frac{d(\sin x)}{3\sin x-7}\)
Đặt \(\sin x=t\Rightarrow P_1=\int \frac{dt}{3t-7}=\frac{1}{3}\int \frac{d(3t-7)}{3t-7}=\frac{1}{3}\ln |3t-7|+c\)
\(=\frac{1}{3}\ln |3\sin x-7|+c\)
2)
\(P_2=\int \sin xe^{2\cos x+3}dx\)
Đặt \(\cos x=t\)
\(P_2=-\int e^{2\cos x+3}d(\cos x)=-\int e^{2t+3}dt\)
\(=-\frac{1}{2}\int e^{2t+3}d(2t+3)=\frac{-1}{2}e^{2t+3}+c\)
\(=\frac{-e^{2\cos x+3}}{2}+c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 12 2017
3)
\(P_3=\int \frac{\sin x+x\cos x}{(x\sin x)^2}dx\)
Để ý rằng \((x\sin x)'=x'\sin x+x(\sin x)'=\sin x+x\cos x\)
Do đó: \(d(x\sin x)=(x\sin x)'dx=(\sin x+x\cos x)dx\)
Suy ra \(P_3=\int \frac{d(x\sin x)}{(x\sin x)^2}\)
Đặt \(x\sin x=t\Rightarrow P_3=\int \frac{dt}{t^2}=\frac{-1}{t}+c=\frac{-1}{x\sin x}+c\)
G
20 tháng 1 2016
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Biến đổi
\(a_1\sin^2x+b_1\sin x\cos x+c_1\cos^2x=\left(A\sin x+B\cos x\right)\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)+C\left(\sin^2x+\cos^2x\right)\)
Bước 2 : Khi đó :
\(I=\int\frac{\left(A\sin x+B\cos x\right)\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)+C\left(\sin^2x+\cos^2x\right)}{a_2\sin x+b_2\cos x}\)
\(=\int\left(A\sin x+B\cos x\right)+C\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x}\)
= \(-A\cos x+B\sin x+\sqrt{\frac{C}{a^2_a+b_2^2}}\int\frac{dx}{\sin\left(x+\alpha\right)}\)
=\(-A\cos x+B\sin x+\frac{C}{\sqrt{a_2^2+b^2_2}}\ln\left|\tan\frac{x+\alpha}{2}\right|+C\)
Trong đó :
\(\sin\alpha=\frac{b_2}{\sqrt{a_2^2}+b^{2_{ }}_2};\cos\alpha=\frac{a_2}{\sqrt{a_2^2}+b^{2_{ }}_2}\)
Giải như sau:
Do \(\cos^2x+\sin^2x=1,\left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^2x},\left(\cot x\right)'=-\frac{1}{\sin^2x}\) nên ta có
\(\int\frac{dx}{\cos^2x.sin^2x}=\int\left(\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2x}\right)dx=\int d\left(\tan x\right)-\int d\left(\cot x\right)=\tan x-\cot x+c\)
cảm ơn bạn nhé :))