Question

[Trí Bùi]

Huhuu, ai cíu zới :(((((((((

Answer 1

[Tô Mì]

Giả sử hiệu điện thế ban đầu là \(U\), hai đầu biến trở lần lượt từ trái sang phải là \(M,N.\)

Cấu trúc mạch: \(\left(R\left|\right|R_{MC}\right)\text{ nt }R_{CN}\).

Đặt: \(R_{MC}=x\left(0\le x\le R\right)\).

Với hiệu điện thế \(U\): \(R_{MC}=R_{CN}=\dfrac{1}{2}R\left(x=\dfrac{1}{2}\right)\).

Cường độ dòng điện qua mạch chính: 

\(I=\dfrac{U}{\dfrac{RR_{MC}}{R+R_{MC}}+R_{CN}}=\dfrac{U}{\dfrac{R\cdot\dfrac{1}{2}R}{R+\dfrac{1}{2}R}+\dfrac{1}{2}R}=\dfrac{6U}{5R}\)

Hiệu điện thế hai đầu điện trở R:

\(U_R=I\cdot\dfrac{RR_{MC}}{R+R_{CN}}=\dfrac{6U}{5R}\cdot\dfrac{R\cdot\dfrac{1}{2}R}{R+\dfrac{1}{2}R}=\dfrac{2}{5}U\)

Với hiệu điện thế \(2U\): \(R_{CN}=R-x\).

Điện trở tương đương của đoạn mạch:

\(R_{tđ}=\dfrac{RR_{MC}}{R+R_{MC}}+R_{CN}=\dfrac{Rx}{R+x}+R-x=\dfrac{R^2+Rx-x^2}{R+x}\)

Cường độ dòng điện qua mạch chính:

\(I=\dfrac{2U}{R_{tđ}}=\dfrac{2U}{\dfrac{R^2+Rx-x^2}{R+x}}=\dfrac{2U\left(R+x\right)}{R^2+Rx-x^2}\)

Hiệu điện thế hai đầu điện trở R lúc này:

\(U_R'=I\cdot\dfrac{RR_{MC}}{R+R_{MC}}=\dfrac{2U\left(R+x\right)}{R^2+Rx-x^2}\cdot\dfrac{Rx}{R+x}=\dfrac{2URx}{R^2+Rx-x^2}\)

Theo đề: \(U_R=U_R'\Leftrightarrow\dfrac{2}{5}U=\dfrac{2URx}{R^2+Rx-x^2}\)

\(\Leftrightarrow R^2+Rx-x^2=5Rx\)

\(\Leftrightarrow R^2-4Rx-x^2=0\)

Giải phương trình trên với ẩn x:

\(\Delta'=\left(-2R\right)^2-\left(-1\right)R^2=5R^2\Leftrightarrow\sqrt{\Delta}=R\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-\left(-2R\right)+R\sqrt{5}}{-1}=-2-R\sqrt{5}\\x_2=\dfrac{-\left(-2R\right)-R\sqrt{5}}{-1}=-2+R\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Với nghiệm x₁: \(0\le x_1\le R\)

\(\Leftrightarrow0\le-2-R\sqrt{5}\le R\Rightarrow R\in\varnothing\).

Do đó, loại nghiệm x₁.

Với nghiệm x₂: \(0\le x_2\le R\)

\(\Leftrightarrow0\le-2+R\sqrt{5}\le R\Rightarrow\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\le R\le\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\).

Do đó, nhận nghiệm x₂.

Ta có: \(\Delta x=\left|x-x_2\right|=\left|\dfrac{1}{2}-\left(-2+R\sqrt{5}\right)\right|=\left|\dfrac{5}{2}+R\sqrt{5}\right|=\dfrac{5}{2}+R\sqrt{5}\)

Vậy: Phải dịch chuyển con chạy C về phía M, tức theo hướng của điểm A một đoạn \(\Delta x=\dfrac{5}{2}+R\sqrt{5}\).