Question

[trần trúc quỳnh]

hình thang ABCD ( AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD.BC theo thứ tự M và N

a. chứng minh rằng OM=ON

b. chứng minh rằng \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{MN}\)

c. biết \(S_{AOB}=2008^2\) ( đơn vị diện tích); \(S_{COD=}2009^2\)( đơn vị diện tích). tính \(S_{ABCD}\)

( vẽ hình luôn)

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Do AB//CD nên áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có:

\(\frac{AO}{OC}=\frac{OB}{OD}\) hay \(\frac{DO}{DB}=\frac{OC}{AC}\)

Xét tam giác ABD có OM//AB nên \(\frac{OM}{AB}=\frac{DO}{DB}\)

Tương tự \(\frac{ON}{AB}=\frac{CO}{CA}\)

Vậy nên \(\frac{OM}{AB}=\frac{ON}{AB}\Rightarrow OM=ON\)

b) Coi AB = 1, DC = k thì \(\frac{DO}{OB}=\frac{DC}{AB}=k\Rightarrow\frac{DO}{DB}=\frac{k}{k+1}\)

\(\Rightarrow OM=ON=\frac{k}{k+1}\Rightarrow MN=\frac{2k}{k+1}\)

Ta có \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{1}+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}\)

\(\frac{2}{MN}=\frac{2}{\frac{2k}{k+1}}=\frac{k+1}{k}\)

Vậy nên \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{MN}\)

c) Ta thấy ngay \(\Delta COD\sim\Delta AOB\left(g-g\right)\) theo tỉ lệ k ở câu b.

Vậy thì \(\frac{S_{COD}}{S_{AOB}}=\frac{2009^2}{2008^2}=\left(\frac{2009}{2008}\right)^2=k^2\Rightarrow k=\frac{2009}{2008}\)

Từ đó ta có \(\frac{OC}{OA}=\frac{DO}{OB}=\frac{2009}{2008}\)

Vậy thì \(\frac{S_{ADO}}{S_{AOB}}=\frac{2009}{2008}\Rightarrow S_{ADO}=\frac{2009}{2008}.2008^2=2009.2008\)

\(\frac{S_{BOC}}{S_{AOB}}=\frac{2009}{2008}\Rightarrow S_{BOC}=\frac{2009}{2008}.2008^2=2009.2008\)

Suy ra \(S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{DOC}+S_{AOD}+S_{BOC}=2008^2+2009^2+2.2008.2009\)

\(=\left(2008+2009\right)^2=4017^2\left(cm^2\right)\)

Answer 2

[Trần Tiến Đạt]

đúng rồi đó chị ơi