Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số, ta được:
a3+b3+c3\(\ge\)3\(\sqrt[3]{a^3b^3c^3}\)=3abc
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Do vậy để thỏa mãn điều kiện đề bài, các số a,b,c buộc phải bằng nhau
Khi đó tam giác ABC là tam giác đều
Do đó Sin2A+Cos2B=\(\frac{3}{4}\)+\(\frac{1}{4}\)=1
Vậy Sin2A+Cos2B=1
Lời giải:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow [(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\)
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên $a+b+c\neq 0$. Do đó $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{2}+\frac{(b-c)^2}{2}+\frac{(c-a)^2}{2}=0\)
Bản thân mỗi số \((a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0, \forall a,b,c\) nên để tổng trên bằng $0$ thì:
\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)
Khi đó, tam giác $ABC$ đều.
\(\Rightarrow \sin ^2A+\cos ^2B=\sin ^2A+\cos ^2A=1\) (đpcm)
Lời giải:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow [(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\)
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên $a+b+c\neq 0$. Do đó $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{2}+\frac{(b-c)^2}{2}+\frac{(c-a)^2}{2}=0\)
Bản thân mỗi số \((a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0, \forall a,b,c\) nên để tổng trên bằng $0$ thì:
\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)
Khi đó, tam giác $ABC$ đều.
\(\Rightarrow \sin ^2A+\cos ^2B=\sin ^2A+\cos ^2A=1\) (đpcm)
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=62067&q=cho%20tam%20gi%C3%A1c%20ABC%20nh%E1%BB%8Dn%20c%C3%B3%20BC%3Da%3B%20AC%3Db%3B%20AB%3Dc%3BCMR%3A%20a%2FsinA%3Db%2FsinB%3Dc%2Fsin%20C
Lời giải:
Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\) (đây là công thức biến đổi quen thuộc)
Vì \(a,b,c\) là độ dài cạnh tam giác nên $a+b+c\neq 0$. Do đó:
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}=0\)
Vì \((a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0\)\(\Rightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b; b=c; c=a\Leftrightarrow a=b=c\) tức là tam giác $ABC$ đều. Do đó \(\angle A=\angle B=\angle C=60^0\)
\(\Rightarrow \sin^2A+\cos ^2B=(\sin 60)^2+(\cos 60)^2=1\)
Ta có đpcm.