Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(a=2x^2+x-2014\) , \(b=x^2-5x-2013\)
thì \(a^2+4b^2=4ab\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=0\)
Thay vào được \(\left[\left(2x^2+x-2014\right)-2\left(x^2-5x-2013\right)\right]^2=0\)
\(\Leftrightarrow11x+2012=0\Leftrightarrow x=-\frac{2012}{11}\)
a) ĐKXĐ: \(x\ne-1\)
Phương trình tương đương: \(\dfrac{5x-x^2}{x+1}\left(x+\dfrac{5-x}{x+1}\right)=6\)
Đặt \(x+\dfrac{5-x}{x+1}=t\) \(\Rightarrow t=\dfrac{5-x+x^2+x}{x+1}=\dfrac{x^2+5}{x+1}\)
\(\Rightarrow-t=\dfrac{-x^2-5}{x+1}=\dfrac{5x-x^2-5x-5}{x+1}=\dfrac{5x-x^2-5\left(x+1\right)}{x+1}\)
\(=\dfrac{5x-x^2}{x+1}-5\)
\(\Rightarrow-t=\dfrac{5x-x^2}{x+1}-5\Rightarrow5-t=\dfrac{5x-x^2}{x+1}\)
Vậy Phương trình trở thành: \(\left(5-t\right)t=6\Leftrightarrow t^2-5t+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0\)
Khi t=2 thì \(x+\dfrac{5-x}{x+1}=2\Leftrightarrow x^2-2x+3=0\) (vô nghiệm)
Khi t=3 thì \(x+\dfrac{5-x}{x+1}=3\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)\(\)
a) \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}+\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1\)
\(\Leftrightarrow\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7=1\)
Dễ dàng thấy \(x=2013\) hoặc \(x=2014\) là các nghiệm của phương trình.
Nếu \(x>2014\) khi đó \(\left|x-2013\right|^5>\left|2014-2013\right|^5>1\) nên:
\(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7>1\) .
Vì vậy mọi \(x>2014\) đều không là nghiệm của phương trình.
Nếu \(x< 2013\) khi đó \(\left|x-2014\right|^7>\left|2013-2014\right|^7>1\) nên:
\(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7>1\).
Vì vậy mọi \(x< 2013\) đều không là nghiệm của phương trình.
Nếu \(2013< x< 2014\) khi đó:
\(\left|x-2013\right|< 1,\left|x-2014\right|< 1\).
Suy ra \(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7< \left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|\).
Ta xét tập giá trị của \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|\) với \(2013< x< 2014\).
Khi đó \(x-2013>0,x-2014< 0\).
Vì vậy \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|=x-2013+x-2014=1\).
Suy ra \(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7< 1\).
vậy mọi x mà \(2013< x< 2014\) đều không là nghiệm của phương trình.
Kết luận phương trình có hai nghiệm là \(x=2013,x=2014\).
\(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=2\\\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(xy\right)^3+7\left(xy+x+y+1\right)=31\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=2\\\left(x+y\right)^3+\left(xy\right)^3+7\left(xy+x+y\right)=30\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=u\\xy=v\end{matrix}\right.\) với \(u^2\ge4v\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}uv=2\\u^3+v^3+7\left(u+v\right)=30\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}uv=2\\\left(u+v\right)^3-3uv\left(u+v\right)+7\left(u+v\right)=30\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}uv=2\\\left(u+v\right)^3+\left(u+v\right)-30=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}uv=2\\u+v=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=2\\v=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)
2.
ĐKXĐ: \(0\le x\le\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow9x\left(3-2x\right)+81+54\sqrt{x\left(3-2x\right)}=49x+25\left(3-2x\right)+70\sqrt{x\left(3-2x\right)}\)
\(\Leftrightarrow9x^2-14x-3+8\sqrt{x\left(3-2x\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow9\left(x^2-2x+1\right)-4\left(3-x-2\sqrt{x\left(3-2x\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow9\left(x-1\right)^2-\dfrac{36\left(x-1\right)^2}{3-x+2\sqrt{x\left(3-2x\right)}}=0\)
\(\Leftrightarrow9\left(x-1\right)^2\left(1-\dfrac{4}{3-x+2\sqrt{x\left(3-2x\right)}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\3-x+2\sqrt{x\left(3-2x\right)}=4\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2\sqrt{x\left(3-2x\right)}=x+1\)
\(\Leftrightarrow4x\left(3-2x\right)=x^2+2x+1\)
\(\Leftrightarrow9x^2-10x+1=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{1}{9}\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}+\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1\)
Mà \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}};\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}\ge0\)
=> \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}=0;\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1\)
HOặc \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}=1;\sqrt{\left(x-2013\right)^{14}}=0\)
\(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}=1\rightarrow x-2013\in\left\{-1;1\right\};x\in\left\{2014;2012\right\}\)
\(\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=0;x-2014=0;x=2014\)
=> x = 2014 (thích hợp)
\(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}=0;x-2013=0;x=2013\)
\(\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1;x-2014\in\left\{-1;1\right\};x\in\left\{2013;2015\right\}\)
=> x = 2013 (thích hợp)
Vậy x = 2013 hoặc x = 2014
Đặt \(x-2003=t\)
Ta có: \(\sqrt{t^{10}}+\sqrt{\left(1-t\right)^{14}}=1\Leftrightarrow\left|t\right|^5+\left|1-t\right|^7=1\text{(*)}\)
\(\left(\text{*}\right)\Rightarrow\left|t\right|;\left|1-t\right|\le1\)
\(+t1\text{ (loại)}\)
\(+t=0\) thì \(\left(\text{*}\right)\) thỏa
\(+0
Ta có: \(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)
\(\Leftrightarrow-2013\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)
\(\Leftrightarrow-y-\sqrt{y^2+2013}=x-\sqrt{x^2+2013}\)
⇔\(x+y=\sqrt{x^2+2013}-\sqrt{y^2+2013}\)(1)
Nhân liên hợp tương tự nhân \(y-\sqrt{y^2+2013}\)vào hai về rút được
\(x+y=\sqrt{y^2+2013}-\sqrt{x^2+2013}\)(2)
Cộng vế theo vế (1)(2) ta được \(x+y=0\Rightarrow x=-y\)
Thay vào \(A=\left(-y\right)^{2014}-y^{2014}+1=1\)
Hình như đề bài có gì đó sai sai:
ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{1}{3}\)
- Với \(x< 7\) pt tương đương:
\(x-7=\left(x+5\right)\sqrt{3x-1}\)
Vế trái âm, vế phải không âm nên pt vô nghiệm
- Với \(x\ge7\Rightarrow3x-1>1\Rightarrow\left(x+5\right)\sqrt{3x-1}>x+5>x\)
\(\Rightarrow x-\left(x+5\right)\sqrt{3x-1}< 0< 7\) pt vô nghiệm
Lời giải:
Ta có:
\(|x-2013|^5+|x-2014|^7=1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} |x-2013|^5=1-|x-2014|^7\leq 1\\ |x-2014|^7=1-|x-2013|^5\leq 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} |x-2013|\leq 1\\ |x-2014|\leq 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -1\leq x-2013\leq 1\\ -1\leq x-2014\leq 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2012\leq x\leq 2014\\ 2013\leq x\leq 2015\end{matrix}\right.\) hay \(2013\leq x\leq 2014\)
Nếu \(x=2013, x=2014\): thử vào pt ban đầu thấy đều thỏa mãn.
Nếu \(2013< x< 2014\)
\(\Rightarrow |x-2013|=x-2013; |x-2014=2014-x\)
Đặt \(x-2013=a\).
PT trở thành
\((x-2013)^5+(2014-x)^7=1\)
\(\Leftrightarrow a^5+(1-a)^7=1\)
\(\Leftrightarrow (a^5-1)+(1-a)^7=0\)
\(\Leftrightarrow (a-1)[a^4+a^3+a^2+a+1-(a-1)^6]=0\)
Vì \(2013< x< 2014\Rightarrow 0< a< 1\).
\(\Rightarrow a-1< 0\) hay \(a-1\neq 0\)
Suy ra \(a^4+a^3+a^2+a+1-(a-1)^6=0\)
\(\Leftrightarrow a^4+a^3+a^2+a+1=(a-1)^6(*)\)
Ta thấy \(0< a<1 \Rightarrow \text{VT}>1\)
\(0< a< 1\Rightarrow -1< a-1< 0\Rightarrow (a-1)^6< 1\Leftrightarrow \text{VP}<1\)
(*) không xảy ra.
Vậy PT có nghiệm \(x\in \left\{2013; 2014\right\}\)