Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1: ĐK: $x\geq 1$
Xét PT(1):
\(x^2+xy(2y-1)=2y^3-2y^2-x\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+x+(2xy^2-2y^3+2y^2)=0\)
\(\Leftrightarrow x(x-y+1)+2y^2(x-y+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y+1)(x+2y^2)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=x+1\\ 2y^2=-x\end{matrix}\right.\)
Nếu $y=x+1$, thay vào PT(2):
$\Rightarrow 6\sqrt{x-1}+x+8=4x^2$
$\Leftrightarrow 4(x^2-4)-6(\sqrt{x-1}-1)-(x-2)=0$
\(\Leftrightarrow 4(x-2)(x+2)-6.\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}-(x-2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)\left[4(x+2)-\frac{6}{\sqrt{x-1}+1}-1\right]=0\)
Với mọi $x\geq 1$ dễ thấy:
$4(x+2)\geq 12$
\(\frac{6}{\sqrt{x-1}+1}+1\leq 6+1=7\)
Suy ra biểu thức trong ngoặc vuông lớn hơn $0$
$\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn)
$\Rightarrow y=x+1=3$
Nếu $2y^2=-x\Rightarrow -x\geq 0\Rightarrow x\leq 0$ (vô lý do $x\geq 1$)
Vậy $(x,y)=(2,3)$
Câu 2:
Nếu như bạn nói những bài toán này được giải theo kiểu đưa về phân tích thành nhân tử thì đề bài của bạn có lẽ sai vì không pt nào trong câu này đưa được về dạng tích. Mình thấy PT(1) có lẽ cần sửa lại thành:
\(x\sqrt{x^2+y}+y=\sqrt{x^4+x^3}+x\)
ĐKXĐ: $x\geq 1; y\geq 0$
Với $x\geq 1; y\geq 0$. Xét PT(1):
\(\Leftrightarrow (x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4+x^3})+(y-x)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2(x^2+y)-(x^4+x^3)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2(y-x)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)
\(\Leftrightarrow (y-x)\left[\frac{x^2}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+1\right]=0\)
Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\geq 1; y\geq 0$ nên $y-x=0\Rightarrow y=x$
Thay vào PT(2):
$x+\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x(x-1)}=\frac{9}{2}$
\(\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{x}+2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x(x-1)}-9=0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1})^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})-8=0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4)=0\)
Dễ thấy \(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4>0\) nên $\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=2$
$\Rightarrow 2x-1+2\sqrt{x(x-1)}=4$
$\Leftrightarrow 5-2x=2\sqrt{x(x-1)}$
Tiếp tục bình phương kết hợp với điều kiện $x\leq \frac{5}{2}$ ta tìm được $x=\frac{25}{16}$
Vậy $x=y=\frac{25}{16}$
1)Điều kiện: \(x + y > 0\)\((1) \Leftrightarrow (x + y)^2 - 2xy + \dfrac{2xy}{x + y} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (x + y)^3 - 2xy(x + y) + 2xy -(x + y) = 0 \\ \Leftrightarrow (x+y)[(x+y)^2- 1]-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x+y)(x+y+1)(x+y-1)-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x + y - 1)[(x+y)(x + y + 1)-2xy] = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x + y = 1 \,\, (3) \\ x^2+y^2+x+y=0 \,\, (4) \end{matrix} \right.\)(4) vô nghiệm vì x + y > 0
Thế (3) vào (2) , giải được nghiệm của hệ :\((x =1 ; y = 0)\)và \((x = -2 ; y = 3)\)
\((1)\Leftrightarrow (x-2y)+(2x^3-4x^2y)+(xy^2-2y^3)=0\)\(\Leftrightarrow (x-2y)(1+2x^2+y^2)=0\)
\(\Leftrightarrow x=2y\)(vì \(1+2x^2+y^2>0, \forall x,y\))
Thay vào phương trình (2) giải dễ dàng.
5,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+y\right)\left(x+2\right)=0\\2\sqrt{x^2-2y-1}+\sqrt[3]{y^3-14}=x-2\end{matrix}\right.\)
Thay từng TH rồi làm nha bạn
3,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(1+\frac{1}{xy}\right)=0\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)
thay nhá
Bài 1:ĐKXĐ: \(2x\ge y;4\ge5x;2x-y+9\ge0\)\(\Rightarrow2x\ge y;x\le\frac{4}{5}\Rightarrow y\le\frac{8}{5}\)
PT(1) \(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(2x-y+3\right)=0\)
+) Với y = x - 1 thay vào pt (2):
\(\frac{2}{3+\sqrt{x+1}}+\frac{2}{3+\sqrt{4-5x}}=\frac{9}{x+10}\) (ĐK: \(-1\le x\le\frac{4}{5}\))
Anh quy đồng lên đê, chắc cần vài con trâu đó:))
+) Với y = 2x + 3...
1,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)\left(x+y\right)=0\\\sqrt{2x}+\sqrt{y+1}=2\left(\circledast\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(x-2y\right)\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2y\\x=-y\end{matrix}\right.\)
Th1:\(x=2y\) Thay vào \(\left(\circledast\right)\) , ta có :
\(\sqrt{4y}+\sqrt{y+1}=2\)
\(\Leftrightarrow2-2\sqrt{y}=\sqrt{y+1}\)\(\Leftrightarrow3y-8\sqrt{y}+3=0\)
Giải pt thu được (x;y)
Th2:x=-y thay vào \(\left(\circledast\right)\), ta có
\(\sqrt{-2x}+\sqrt{y+1}=2\)
Xét đk ta thấy:\(y\le0;y\ge-1\)(vô nghiệm)
Vậy ....
2,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y-1\right)\left(x+y^2\right)=0\\\sqrt{x}+\sqrt{y+1}=2\end{matrix}\right.\)
\(\left(x-y-1\right)\left(x+y^2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y+1\\x=-y^2\end{matrix}\right.\)
Th1:\(x=y+1\)
Thay vào ta có:\(\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=1\)\(\Leftrightarrow y=0\)
Th2:\(x=-y^2\)thay vào ta có:
\(\sqrt{-y^2}+\sqrt{y+1}=2\)
vì \(-y^2\le0\) mà nhận thấy y=0 ko là nghiệm của pt
\(\Rightarrow\)Pt vô nghiệm
\(1,HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)+\left(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}\right)=0\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(1+\dfrac{1}{xy}\right)=0\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow2y=y^3+1\Leftrightarrow y^3-2y+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\y=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right);\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right);\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)\)
\(2,HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+2\sqrt{xy}=16\\x+y+2\sqrt{xy}=16\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=x+y\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=0\Leftrightarrow x=y\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x}=4\Leftrightarrow x=4\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(4;4\right)\)
\(3,\text{Sửa: }\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+3}+\left|y\right|=\sqrt{3}\left(1\right)\\\sqrt{y^2+5}+\left|x\right|=\sqrt{x^2+5}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Ta thấy \(\sqrt{x^2+3}\ge\sqrt{3};\left|y\right|\ge0\Leftrightarrow VT\left(1\right)\ge\sqrt{3}=VP\left(1\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=0\)
Thay vào \(\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{5}+0=\sqrt{5}\left(tm\right)\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\)
ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\y\ge0\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(x+\sqrt{\left(x+1\right).y}=2y-1\)
\(\Leftrightarrow x+1+\sqrt{\left(x+1\right)y}-2y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x+1}+2\sqrt{y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=\sqrt{y}\left(1\right)\\\sqrt{x+1}+2\sqrt{y}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (2) ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=0\end{matrix}\right.\) (tm)
Thử lại ta có (x;y) = (-1;0) là 1 nghiệm của hệ phương trình
Từ (1) ta có : x + 1 = y
Khi đó \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{y}=x^2-y\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=x^2-x-1\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x+3}-3\right)+\left(\sqrt{x+1}-2\right)=x^2-x-6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-6}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}=\left(x-3\right)\left(x+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}=x+2\end{matrix}\right.\)
Với x = 3 => y = 4 (tm)
Với \(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}=x+2\)
Vì \(x\ge-1\) nên \(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}\le\dfrac{1}{2}\)
nên \(VT\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\)
lại có \(VP\ge1\) khi x \(\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra khi x = -1 => y = 0 (tm)
Vậy (x;y) = (-1;0) ; (3;4)
đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\y\ge0\\x^2>y\end{matrix}\right.\)
pt đầu \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)y}=2y-x-1\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)y=4y^2+x^2+1+2x-4xy-4y\)
\(\Leftrightarrow x^2+4y^2-5xy+2x-5y+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-4y\right)+\left(x-y\right)+\left(x-4y\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left(x-4y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x+1\\x=4y-1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(y=x+1\) thay vào pt thứ hai, ta được
\(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=x^2-x-1\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x+3}-3\right)+\left(\sqrt{x+1}-2\right)=x^2-x-6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-6}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}-\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-x+2=0\end{matrix}\right.\)
TH1.1: \(x=3\Rightarrow y=x+1=4\) (nhận)
TH1.2:\(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-x+2=0\) (chỗ này mai mình nghĩ tiếp)
TH2: \(x=4y-1\). Thay vào pt thứ hai, ta được
\(\sqrt{8y+1}+\sqrt{y}=16y^2-9y+1\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{8y+1}-1\right)+\sqrt{y}=16y^2-9y\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8y}{\sqrt{8y+1}+1}+\dfrac{y}{\sqrt{y}}-16y^2+9y=0\)
\(\Leftrightarrow y\left(\dfrac{8}{\sqrt{8y+1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}-16y+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\\dfrac{8}{\sqrt{8y+1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}-16y+9=0\end{matrix}\right.\)
TH2.1: \(y=0\) \(\Rightarrow x=4y-1=-1\) (nhận)
TH2.2: \(\dfrac{8}{\sqrt{8y+1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}-16y+9=0\)
(đoạn này để mai mình nghĩ tiếp nhé, ta tìm được các nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(-1;0\right);\left(3;4\right)\))