K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 2 2018

Câu 1 \(\left\{{}\begin{matrix}2x+2y+2xy=10\left(1\right)\\x^2+y^2=5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

=>2.(2) - (1)=\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x-y\right)^2=0\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-1=0\\x-y=0\end{matrix}\right.\) =>x=y=1

Câu 2 dùng vi-et đảo

Câu 3 rút x=y+1 từ pt trên rồi thế xuống dưới

Câu 4 lấy pt trên cộng pt dưới rồi xét dấu GTTĐ

2 tháng 8 2019

áp dụng BĐT Cauchy ngược dấu:

\(x+y=3+\sqrt{xy}\le3+\frac{x+y}{2}\)

\(=>\frac{x+y}{2}\le3=>x+y\le6\left(1\right)\)

\(4=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\)

=> \(8=\sqrt{4\left(x+1\right)}+\sqrt{4\left(y+1\right)}\le\frac{4\left(x+1\right)}{2}+\frac{4\left(y+1\right)}{2}=>x+y\ge6\left(2\right)\)

từ (1) và (2) => x+ y = 6

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\4=\left(x+1\right)=>x=y=3\\4=\left(y+1\right)\end{matrix}\right.\)

vậy hpt có No (x; y) = (3;3)

3 tháng 9 2023

1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)

\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)

\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (*)

Thật vậy, (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:

VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)

Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\)

Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)

 Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)

1) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x}-\sqrt{y}=5\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9\sqrt{x}-3\sqrt{y}=15\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11\sqrt{x}=33\\3\sqrt{x}-\sqrt{y}=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=3\\\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=16\end{matrix}\right.\)

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=16\end{matrix}\right.\)

2) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\sqrt{x+3}+4\sqrt{y+1}=-4\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5\sqrt{y+1}=0\\\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y+1}=0\\\sqrt{x+3}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+1=0\\x+3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

29 tháng 4 2023

4. Đk: \(x,y\ge0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y+1}=1\\\sqrt{y}+\sqrt{x+1}=1\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y+1}\ge0+1=1\\\sqrt{y}+\sqrt{x+1}\ge0+1=1\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0,\sqrt{x+1}=1\\\sqrt{y}=0,\sqrt{y+1}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)<tmđk>

Vậy hệ pt có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(0;0\right)\)

28 tháng 3 2019

ĐKXĐ x ; y > 0

(1) \(\Rightarrow\left(y-x\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}y}+x+2xy\right)=0\)

\(\Rightarrow x=y\)

\(\Rightarrow...\)

#Kaito#

9 tháng 3 2023

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=1\left(1\right)\\x+\sqrt{3}y=\sqrt{2}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right):\)

\(\sqrt{2}x+x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}y=1+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}x+x-\sqrt{2}-1=0\)

\(\Rightarrow x\left(1+\sqrt{2}\right)-\left(1+\sqrt{2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(1+\sqrt{2}\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow x-1=0\)

\(\Rightarrow x=1\)

Thay \(x=1\) vào \(\left(2\right):1+\sqrt{3}y=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{3}y=\sqrt{2}-1\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\)

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất \( \left(x;y\right)=\left(1;\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\right)\)

 

9 tháng 3 2023

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=1\\x+\sqrt{3}y=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{2}+1\right)x=1+\sqrt{2}\\x+\sqrt{3}y=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=1\\x+\sqrt{3}y=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\1+\sqrt{3}y=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(1;\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\right)\)