Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-y}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
Phương trình đầu trở thành:
\(\left(1-b^2\right)a+a^2+b^2=2+\left(a^2-1\right)b\)
\(\Leftrightarrow a+b+a^2+b^2-a^2b-ab^2-2=0\)
\(\Leftrightarrow a-1+b-1-a^2\left(b-1\right)-b^2\left(a-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-b^2\right)\left(a-1\right)+\left(a^2-1\right)\left(1-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)\left(2+a+b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y+1\\y=1\end{matrix}\right.\)
Trường hợp \(y=1\) đơn giản bạn tự thay xuống giải
- Với \(x=y+1\)
\(2y^2-3\left(y+1\right)+6y+1-2\sqrt{1-y}+\sqrt{1-y}=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2+3y-2-\sqrt{1-y}=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2+2y-2+y-\sqrt{1-y}=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(y^2+y-1\right)+\frac{y^2+y-1}{y+\sqrt{1-y}}=0\)
Nhớ nhìn căn thức và loại nghiệm theo ĐKXĐ
ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2+2y+2\ge0\\3x+y\ge0\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(\left(\sqrt{4x^2+3}-2x\right)\left(\sqrt{y^2-2y+4}-y+1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{\sqrt{4x^2+3}+2x}.\dfrac{3}{\sqrt{y^2-2y+4}+y-1}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x^2+3}+2x\right)\left(\sqrt{y^2-2y+4}+y-1\right)=3\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{4x^2+3}+2x\right)\left(\sqrt{y^2-2y+4}+y-1\right)=\left(\sqrt{4x^2+3}-2x\right)\left(\sqrt{y^2-2y+4}-y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{y^2-2y+4}+\left(y-1\right).\sqrt{4x^2+3}=0\)
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{y^2-2y+4}=\left(1-y\right).\sqrt{4x^2+3}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x^2.\left(y^2-2y+4\right)=\left(y^2-2y+1\right).\left(4x^2+3\right)\\2x.\left(1-y\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x^2=y^2-2y+1\\2x\left(1-y\right)\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}2x=y-1\\2x=1-y\end{matrix}\right.\\2x\left(1-y\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
Với 2x = 1 - y
Khi đó ta có \(\sqrt{4x^2+2y+2}-\sqrt{3x+y}=2x+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2-4x+4}-\sqrt{x+1}=2x+1\) (ĐK : \(x\ge-1\))
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x+1}=2x+1\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x^2-x+1}-1\right)=2x+\sqrt{x+1}-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2-x+1}+1}=2x+\dfrac{x}{\sqrt{x+1}+1}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\dfrac{2x-2}{\sqrt{x^2-x+1}}=2+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Phương trình (1)
<=> \(\dfrac{2\left(x+1\right)}{\sqrt{x^2-x+1}}=2+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\dfrac{4}{\sqrt{x^2-x+1}}\)
Xét vế trái : \(\dfrac{2\left(x+1\right)}{\sqrt{x^2-x+1}}=\sqrt{\dfrac{4x^2+4x+1}{x^2-x+1}}=\sqrt{\dfrac{5x^2-5x+5-x^2+9x-4}{x^2-x+1}}\)
\(=\sqrt{5-\dfrac{x^2-9x+4}{x^2-x+1}}< \sqrt{5}\) (2)
Lại có \(2+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\dfrac{4}{\sqrt{x^2-x+1}}\)
\(=2+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}\)
\(\ge2+\dfrac{\left(1+1+1+1+1\right)^2}{\sqrt{x+1}+1+4\sqrt{x^2-x+1}}=2+\dfrac{25}{\sqrt{x+1}+1+4\sqrt{x^2-x+1}}\)
Dấu "=" khi \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\approx3,498374325\\x\approx-0,7385661113\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(VP\ge3,6\) (3)
Từ (3) và (2) => (1) vô nghiệm
Vậy x = 0 => y = 1
Với 2x = y - 1 kết hợp điều kiện 2x(1 - y) \(\ge0\)
ta được x = 0 ; y = 1
Vậy (x ; y) = (0;1)
1)Điều kiện: \(x + y > 0\)\((1) \Leftrightarrow (x + y)^2 - 2xy + \dfrac{2xy}{x + y} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (x + y)^3 - 2xy(x + y) + 2xy -(x + y) = 0 \\ \Leftrightarrow (x+y)[(x+y)^2- 1]-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x+y)(x+y+1)(x+y-1)-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x + y - 1)[(x+y)(x + y + 1)-2xy] = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x + y = 1 \,\, (3) \\ x^2+y^2+x+y=0 \,\, (4) \end{matrix} \right.\)(4) vô nghiệm vì x + y > 0
Thế (3) vào (2) , giải được nghiệm của hệ :\((x =1 ; y = 0)\)và \((x = -2 ; y = 3)\)
\((1)\Leftrightarrow (x-2y)+(2x^3-4x^2y)+(xy^2-2y^3)=0\)\(\Leftrightarrow (x-2y)(1+2x^2+y^2)=0\)
\(\Leftrightarrow x=2y\)(vì \(1+2x^2+y^2>0, \forall x,y\))
Thay vào phương trình (2) giải dễ dàng.
1/ \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3=1\left(1\right)\\x^2y+2xy^2+y^3=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1). 2 - (2) ta được:
\(2x^3+y^3-x^2y-2xy^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(2x-y\right)=0\)
Đến đây dễ rồi nhé ^^
2/ Ta viết lại pt thứ 2 của hệ:
\(y^2-4\left(x+2\right)y+16+16x-5x^2=0\)
\(\Leftrightarrow y^2-4\left(x+2\right)y+4\left(x+2\right)^2-9x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[y-2\left(x+2\right)\right]^2-\left(3x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)\left(y-5x-4\right)=0\)
Bạn làm tiếp nhé!
3/ Ta viết lại pt thứ nhất của hệ
\(x^2-x\left(2y-3\right)+y^2-3y-4=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\left(2y-3\right)+\dfrac{4y^2-12y+9}{4}-\dfrac{25}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{2y+3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-4\right)\left(x-y+1\right)=0\)
Bạn làm tiếp được chứ?
4/ Viết lại pt thứ 2 của hệ
\(\left(y+\sqrt{x}\right)^2-\left(y\sqrt{x}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-\sqrt{x}-y\sqrt{x}\right)\left(y-\sqrt{x}+y\sqrt{x}\right)=0\)