Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo định lý Viéte kết hợp với giả thiết ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}>0\\x_1x_2=\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab< 0\\ac>0\end{matrix}\right.\)
Ta cần chứng minh: \(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\frac{-b}{c}>0\\x_3x_4=\frac{a}{c}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}bc< 0\\ac>0\end{matrix}\right.\) (*)
TH1: \(a>0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c>0\\b< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) (*) luôn đúng
TH2: \(a< 0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c< 0\\b>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) (*) luôn đúng
Ta có đpcm.
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(x_1+x_2+x_3+x_4\ge4\sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4}=4\sqrt[4]{\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{c}}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x_1=x_2=x_3=x_4\) \(\Leftrightarrow a=c\)
\(ax^2+bx+c=0\) (1) có 2 nghiệm dương \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=b^2-4ac\ge0\\x_1+x_2=-\frac{b}{a}>0\\x_1x_2=\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)
Xét \(cx^2+bx+a=0\) (2)
\(\Delta=b^2-4ac\ge0\Rightarrow\left(2\right)\) có 2 nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=-\frac{b}{c}\\x_3x_4=\frac{a}{c}>0\end{matrix}\right.\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}-\frac{b}{a}>0\\\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(-\frac{b}{a}\right):\left(\frac{c}{a}\right)>0\Rightarrow-\frac{b}{c}>0\)
\(\Rightarrow\) (2) cũng có 2 nghiệm dương
Do \(\left\{{}\begin{matrix}-\frac{b}{a}>0\\\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a;c\) cùng dấu và trái dấu b
Ko mất tính tổng quát, giả sử \(a;c>0\) và \(b< 0\) ; đặt \(d=-b>0\)
\(\Rightarrow d^2\ge4ac\Rightarrow d\ge2\sqrt{ac}\)
\(A=x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}-\frac{b}{c}=\frac{d}{a}+\frac{d}{c}=d\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(A\ge2d\sqrt{\frac{1}{ac}}\ge2.2\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{1}{ac}}=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=c=\frac{1}{2}d\) hay \(a=c=-\frac{1}{2}b\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Đặt x2=t(t≥0)x2=t(t≥0)
x4−2mx2+2m−1=0x4−2mx2+2m−1=0
⟺t2−2mt+2m−1=0⟺t2−2mt+2m−1=0 (**)
Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì Δ′>0⟺m2−2m+1>0⟺(m−1)2>0⟺m≠1Δ′>0⟺m2−2m+1>0⟺(m−1)2>0⟺m≠1 (1)
Và {t1t2=2m−1>0t1+t2=2m>0 (∗){t1t2=2m−1>0t1+t2=2m>0 (∗)
⟺m>12⟺m>12 (2)
Phương trình bậc 4 trùng phương thì có 4 nghiệm trong đó có 2 cặp nghiệm là số đối của nhau.
Mà x1<x2<x3<x4→{x1=−x4x2=−x3x1<x2<x3<x4→{x1=−x4x2=−x3
x4−x3=x3−x2→x4=3x3x4−x3=x3−x2→x4=3x3
TT: x1=3x2x1=3x2
→x1.x4=9x2.x3→t1=9t2→x1.x4=9x2.x3→t1=9t2 ( với t1;t2t1;t2 là 2 nghiệm của pt(**))
Đến đây thay vào (*) bên trên ta được hệ:
⟺{9t22=2m−15t2=m⟺{9t22=2m−15t2=m
→9(2)2−25(1)⟺9m2−50m+25=0⟺(9m−5)(m−5)=0→9(2)2−25(1)⟺9m2−50m+25=0⟺(9m−5)(m−5)=0
⟺m=59⟺m=59 v m=5m=5 (cả 2 đều thỏa mãn)
∙∙ Với m=59⟺x=±1m=59⟺x=±1 v x=±13x=±13
∙∙ Với m=5⟺x=±1m=5⟺x=±1 v x=±3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ax^2 + bx + c = 0
Để phương trình thỏa mãn điều kiện có 2 nghiệm dương phân biệt.
∆ > 0
=> b^2 - 4ac > 0
x1 + x2 = -b/a > 0
=> b và a trái dấu
x1.x2 = c/a > 0
=> c và a cùng dấu
Từ đó ta xét phương trình cx^2 + bx^2 + a = 0
∆ = b^2 - 4ac >0
x3 + x4 = -b/c, vì a và c cùng dấu mà b và a trái dấu nên b và c trái dấu , vì vậy -b/c >0
x3.x4 = a/c, vì a và c cùng dấu nên a/c > 0
=> phương trình cx^2 + cx + a có 2 nghiệm dương phân biệt x3 và x4
Vậy nếu phương trình ax^2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình cx^2 + bx + a = 0 cũng có 2 nghiệm dương phân biệt.
Ta có, vì x1, x2, x3, x4 không âm, dùng cô si.
x1 + x2 ≥ 2√( x1.x2 )
x3 + x4 ≥ 2√( x3x4 )
=> x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 2[ √( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ] (#)
Tiếp tục côsi cho 2 số không âm ta có
√( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ≥ 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] (##)
Theo a ta có
x1.x2 = c/a
x3.x4 = a/c
=> ( x1.x2 )( x3.x4 ) = 1
=> 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] = 2
Từ (#) và (##) ta có
x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4
+xét đen ta là được
+ dùng cosi là xong