Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ Đặt \(a-b=x,b-c=y,c-a=z\)
Ta có: \(\frac{y}{x\left(-z\right)}+\frac{z}{y\left(-x\right)}+\frac{x}{z\left(-y\right)}=\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\)
\(\frac{\left(-1\right)y^2}{xyz}+\frac{\left(-1\right)z^2}{xyz}+\frac{\left(-1\right)x^2}{xyz}=\frac{2yz}{xyz}+\frac{2zx}{xyz}+\frac{2xy}{xyz}\)
\(\left(-1\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=2\left(xy+yz+zx\right)\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=0\Rightarrow x+y+z=0\)luôn đúng vì a-b+b-c+c-a=0
Vậy suy ra đpcm. BẤM ĐÚNG NHÉ
Câu 1 gần tương tự bài 3.2 sách bài tập toán 8 tập 2 trang 18
Bài 3: y hệt bài mình đã từng đăng Câu hỏi của Thắng Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath- trước mình có ghi lời giải mà lâu ko xem giờ quên r` :)
1) Đặt n+1 = k^2
2n + 1 = m^2
Vì 2n + 1 là số lẻ => m^2 là số lẻ => m lẻ
Đặt m = 2t+1
=> 2n+1 = m^2 = (2t+1)^2
=> 2n+1 = 41^2 + 4t + 1
=> n = 2t(t+1)
=> n là số chẵn
=> n+1 là số lẻ
=> k lẻ
+) Vì k^2 = n+1
=> n = (k-1)(k+1)
Vì k -1 và k+1 là 2 số chẵn liên tiếp
=> (k+1)(k-1) chia hết cho *
=> n chia hết cho 8
+) k^2 + m^2 = 3a + 2
=> k^2 và m^2 chia 3 dư 1
=> m^2 - k^2 chia hết cho 3
m^2 - k^2 = a
=> a chia hết cho 3
Mà 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> a chia hết cho 24
Ta có : \(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{-\left(a-b\right)+\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{-\left(b-c\right)+\left(b-a\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{-\left(c-a\right)+\left(c-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=-\frac{1}{a-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{-1}{b-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{-1}{c-b}+\frac{1}{c-a}\)
\(=\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\)
\(=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\)
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)
Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)
Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)
\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Ta có:\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)
Ai biết cách làm thì nhanh tay giải giùm mình nhé!!!!!!!!!!!!
mk đang cần gấp....<3<3<3<3<3<3
Theo bài ra ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\Rightarrow x+y+z=xyz\)
Do:\(\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}=\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự: \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\);
\(\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+y\right)}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(1+x^2\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{zx\left(1+y^2\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(1+z^2\right)}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Ta có \(\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\);
\(\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\);
\(\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)
\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{z}{y+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy \(A\le\frac{3}{2}\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
M giải thích cho t chỗ sao mà \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\) đc vậy?
Với cả từ dòng này xuống dòng này nữa.
Sao mà tin đc dấu " = " xảy ra khi nào vậy?
Ta có: \(\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy}\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=0\end{cases}}\)
Vì nghiệm của phương trình là bộ ba số khác O nên các số a,b,c là ba số khác nhau và khác O
+) Nếu: \(\frac{a}{b-c}=\frac{b}{c-a}=\frac{c}{a-b}=k\ne0\Rightarrow a=k\left(b-c\right);b=k\left(c-a\right);c=k\left(a-b\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
Từ: \(\frac{a}{b-c}=\frac{b}{c-a}\Rightarrow\frac{a}{b+a+b}=\frac{b}{-a-b-a}\Rightarrow\left(a+b\right)^2+a^2+b^2=0\)
\(\Rightarrow a=b=0\Rightarrow a=b=c=0\)(loại)
+) Nếu: \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}=\frac{b\left(b-a\right)+c\left(a-c\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{b^2-ba+ca-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{c^2-cb+ab-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(2\right);\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2-ac+bc-b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(3\right)\)
Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c^2\right)}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)
Đặt \(m=\frac{a}{\left(b-c\right)^2};n=\frac{b}{\left(c-a\right)^2};p=\frac{c}{\left(a-b\right)^2}\Rightarrow m+n+p=0\)
\(\Rightarrow m^3+n^3+p^3=3mnp\Rightarrow\frac{m^2}{np}+\frac{n^2}{mp}+\frac{p^2}{mn}=3\left(ĐPCM\right)\)