NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
8 tháng 9 2015
Xét \(P=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}\) với a>0
\(P^2=1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}\)
\(=\frac{a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2+a^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)
\(=\frac{a^2\left(a^2+2a+1+1\right)+\left(a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)
\(=\frac{a^4+2a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)
\(=\frac{\left(a^2+a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)
\(=\left(\frac{a^2+a+1}{a\left(a+1\right)}\right)^2\)
Do a>o nên \(P=\frac{a^2+a+1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)
Áp dụng kết quả của P ta có:
\(A=\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+....+\left(1+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}\right)\) \(A=2012+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-.....+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}\right)\)
\(A=2012+1-\frac{1}{2013}\)
\(A=2013-\frac{1}{2013}=\frac{4052168}{2013}\)
Vậy \(A=\frac{4052168}{2013}\)
KH
20 tháng 4 2020
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)
\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=\frac{1}{72}\\a+c=\frac{1}{63}\\b+c=\frac{1}{56}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=\frac{1}{72}\\a-b=\frac{1}{63}-\frac{1}{56}\\b+c=\frac{1}{56}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{72}-b\\2b=\frac{1}{72}+\frac{1}{504}\\c=\frac{1}{56}-b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{72}-b\\b=\frac{\frac{1}{72}+\frac{1}{504}}{2}=\frac{1}{126}\\c=\frac{1}{56}-b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{72}-\frac{1}{126}=\frac{1}{168}\\b=\frac{1}{126}\\c=\frac{1}{56}-\frac{1}{126}=\frac{5}{504}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=168\\y=126\\z=100,8\end{matrix}\right.\)
16 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(\Rightarrow VP\le4\left(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\frac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\frac{1}{2}=2\sqrt{ab}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có ;
\(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(VT\ge VP\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Chúc bạn học tốt !!!
3 tháng 11 2019
Áp dụng bđt Cauchy ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(\Rightarrow VP\le4\left(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy ta cso :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\frac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\frac{1}{2}=2\sqrt{ab}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(VT\ge VP\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(\frac{1}{1000.1998}+\frac{1}{1001.1997}+...+\frac{1}{1998+1000}\)
\(S=\frac{1}{1000.1998}+\frac{1}{1001.1997}+...+\frac{1}{1998.1000}\)
\(=\frac{1}{2998}\left(\frac{1000+1998}{1000.1998}+\frac{1001+1997}{1001.1997}+...+\frac{1998+1000}{1998.1000}\right)\)
\(=\frac{1}{2998}\left(\frac{1}{1000}+\frac{1}{1998}+\frac{1}{1001}+\frac{1}{1997}+...+\frac{1}{1998}+\frac{1}{1000}\right)\)
\(=\frac{2}{2998}\left(\frac{1}{1000}+\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+...+\frac{1}{1998}\right)\)
\(=\frac{1}{1499}\left[\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1998}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{199}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{1499}\left[\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1998}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1998}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{1499}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1997}-\frac{1}{1998}\right)\)
\(=\frac{1}{1499}\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{1997.1998}\right)\)
$\frac{1}{1000.1998}$ + $\frac{1}{1001.1997}$ +...+ $\frac{1}{1998.1000}$ câu hỏi 198346 - hoidap247.com